Extensiones de campo y elementos algebraicos/trascendentes

Question

Dejemos que $E$ sea una extensión del campo $F$ y que $\alpha, \beta \in E$ . Supongamos que $\alpha$ es trascendental sobre $F$ pero algebraico sobre $F(\beta)$ .

Demuestra que $\beta$ es algebraico sobre $F(\alpha)$ .

Bien, primeras preguntas: ¿Qué hace la notación $F(\alpha)$ y $F(\beta)$ ¿quieren decir? Y ser trascendental significa que no resuelve ecuaciones con coeficientes racionales, pero ¿qué significa para un campo?

Answer 1

$F(\alpha)$ es el campo más pequeño que contiene ambos $F$ y $\alpha$ .

$\gamma$ algebraico sobre $F$ significa que hay un polinomio no nulo $p(X) \in F[X]$ (es decir, un polinomio con coeficientes en $F$ ) con $p(\gamma) = 0$ . (Y trascendental significa que tal polinomio no existe).

Ahora el problema en sí. La situación es la siguiente.

Desde $\alpha$ es algebraico sobre $F(\beta)$ hay un polinomio no nulo $f(X) \in F(\beta)[X]$ con $f(\alpha) = 0$ . Los coeficientes son elementos de $F(\beta)$ pero al despejar los denominadores podemos suponer que son elementos de $F[\beta]$ .

Así que, $f(\alpha)$ es una expresión polinómica en ambos $\alpha$ y $\beta$ y podemos verlo como una expresión polinómica $g(\beta)$ en $\beta$ con coeficientes en $F[\alpha]$ es decir, $g(Y) \in F[\alpha][Y]$ . (Para ser precisos, existe un polinomio $h(X,Y) \in F[X,Y]$ tal que $f(X) = h(X,\beta)$ y $g(Y) = h(\alpha,Y)$ .) Ahora $0 = f(\alpha) = g(\beta)$ .

Lo que queda por demostrar es que $g(Y)$ no es el polinomio cero, es decir, que no todos sus coeficientes son $0$ . Pero sus coeficientes son de la forma $c(\alpha)$ con $c(X) \in F[X]$ y porque $\alpha$ es trascendental sobre $F$ , $c(\alpha)$ es $0$ sólo si $c(X) = 0$ . Por lo tanto, si $g(Y)$ fuera el polinomio cero, también lo sería $f(X)$ ser.

Ejemplo. Toma $\alpha = T^2$ y $\beta = T^3$ en el campo ${\mathbb Q}(T)$ de funciones racionales sobre ${\mathbb Q}$ . Entonces $\alpha$ es trascendental sobre ${\mathbb Q}$ . También, $\beta$ es algebraico sobre ${\mathbb Q}(\alpha)$ ya que satisface $\beta^2 - \alpha^3 = 0$ (es decir, $\beta$ es una raíz del polinomio $Y^2 - \alpha^3$ en ${\mathbb Q}(\alpha)$ ). Exactamente la misma relación muestra que $\alpha$ es algebraico sobre ${\mathbb Q}(\beta)$ (como $\alpha$ es una raíz del polinomio $\beta^2 - X^3$ en ${\mathbb Q}(\beta)$ ).

Answer 2

$F(\alpha)$ es el campo más pequeño que contiene tanto $F$ y $\alpha$ dentro de $E$ .. Ser trascendental significa, que no resuelve ninguna ecuación con coeficientes en el campo dado, es decir $\beta \in E$ es trascendental sobre $F(\alpha)$ si ningún polinomio con coeficientes en $F(\alpha)$ tiene $\beta$ como raíz.

Answer 3

Esta es una pregunta antigua, pero me gustaría compartir una solución alternativa que se me ocurrió cuando hice este ejercicio.

Las condiciones de la pregunta equivalen al siguiente diagrama:

Ahora reclamamos $F(\beta)/F$ es trascendental. Supongamos que no, entonces $F(\beta)/F$ es algebraico. Como la composición de extensiones algebraicas es algebraica, $F(\alpha, \beta)/F$ es algebraico, lo que contradice $\alpha$ ser trascendental sobre $F$ .

Por lo tanto, $F(\beta)/F(\alpha)$ es trascendental.

Esto significa que $\alpha, \beta$ son ambos trascendentales sobre $F$ . Así que $F(\alpha), F(\beta) \cong F(x)$ para algunos intermedios $x$ $\implies F(\alpha) \cong F(x) \cong F(\beta)$

Desde $F(\alpha) \cong F(\beta)$ podemos considerar $F(\beta)$ como grado $1$ extensión de $F(\alpha)$ . $F(\beta)/F(\alpha)$ es algebraica ya que todas las extensiones finitas son algebraicas.

Finalmente, utilizamos de nuevo el hecho de que la composición de extensiones algebraicas es algebraica para concluir $F(\alpha, \beta)/F(\alpha)$ es algebraico.