Definición de vértice descomponible

Question

Deje $\Delta$ ser un complejo simplicial.

lc $\Delta(F ) = \{H \in \Delta \mid H \cap F = \phi~ \& ~H \cup F \in ∆\}$ ,

$\operatorname{del} \Delta(F ) = \{H \in \Delta \mid H \cap F = \phi\}$.

Véase la Definición 2.1 Deje $\Delta$ ser un complejo simplicial en el vértice set $V = \{x _1 ,\ldots,x _n \}$. A continuación, $\Delta$ es vértice descomponible si:

1. La única faceta de $\Delta$$\{x _1,\ldots,x_n\}$, es decir, $\Delta$ es un simplex, o $\Delta = \emptyset.$
2. Existe una $x \in V$ tal que $\operatorname{del} \Delta (x)$ $\operatorname{lk} \Delta (x)$ vértices descomponible, y de tal manera que cada una de las facetas de $\operatorname{del} \Delta (x)$ es una faceta de la $\Delta$.

¿Qué $\operatorname{del} \Delta (x)$ $\operatorname{lk} \Delta (x)$ significa que por vértice degradables ?

Dar algunos ejemplos no triviales

Answer 1

La definición es por inducción sobre $n$, el número de vértices de $\Delta$. El simplicial complejos de $\operatorname{del}_\Delta(x)$ $\operatorname{lk}_\Delta(x)$ tienen menos de $n$ vértices (porque no contienen $x$), por lo que mediante la inducción ya está definido lo que significa para ellos ser vértice-degradables.

Veamos un par de ejemplos. Supongamos $V=\{a,b,c,d,e\}$ $\Delta$ es generado por $\{a,b\}$, $\{b,c,d\}$, y $\{c,d,e\}$. Desde $\Delta$ no es ni vacío ni un simplex, para $\Delta$ a ser el vértice-descomponible tenemos que encontrar un vértice $x$ que satisface (2). Vamos a tratar de $x=a$. Vemos que $\operatorname{lk}_\Delta(a)$ es sólo $b$, e $\operatorname{del}_\Delta(x)$ es generado por $\{b,c,d\}$$\{c,d,e\}$. Desde $\operatorname{lk}_\Delta(a)$ es un simplex, es vértice-descomponible por el criterio (1). También es claro que cada una de las facetas de $\operatorname{del}_\Delta(a)$ es una faceta de la $\Delta$. Así que la única pregunta es si $\operatorname{del}_\Delta(a)$ es de vértice descomponible.

Para probar esto, vamos a escribir $E=\operatorname{del}_\Delta(a)$. Desde $E$ no es un simplex o el vacío, la única manera de ser de vértice decomposible es el criterio (2). Vamos a tratar de tomar el vértice $x=b$. A continuación, $\operatorname{lk}_E(b)$ es el borde de la $c$ $d$ $\operatorname{del}_E(b)$ $2$- simplex en $c$, $d$, y $e$. Ambos son simplices, por lo que se vértice-descomponible por el criterio (1). También, cada una de las facetas de $\operatorname{del}_E(b)$ es una faceta de la $E$.

Por lo tanto $E$ satisface el criterio (2) con $x=b$, y por lo tanto es vértice-degradables. Es decir, $\operatorname{del}_\Delta(a)$ es vértice-degradables, por lo $\Delta$ satisface el criterio (2) con $x=a$. Por lo tanto $\Delta$ es de vértice descomponible.

Ahora considere el $V=\{a,b,c,d,e\}$ y deje $\Delta$ ser generados por $\{a,b,c\}$$\{c,d,e\}$. Desde $\Delta$ no es un simplex o el vacío, no satisface (1). Además, se puede comprobar que para cada $x\in V$, $\operatorname{del}_\Delta(x)$ tiene una faceta que no es una faceta de la $\Delta$. Por lo tanto $\Delta$ no puede satisfacer (2)$x$, por lo que no es de vértice descomponible.