Un operador acotado $T:\ell_\infty\rightarrow c_0$ tiene la forma $Tx=(x_n^*(x))$ para algunos débiles$^*$ null secuencia $(x_n^*)$$\ell_\infty^*$. Un conjunto $K\subset c_0$ es relativamente compacto si y solo si hay un $x\in c_0$ tal que $|k_n|\le |x_n|$ todos los $k\in K$ y todos los $n\ge1$. A partir de estos dos hechos, se deduce que el $T(B({\ell_\infty}))$ es relativamente compacto si y sólo si la representación de la secuencia de $(x_n^*)$ es la norma-null.
Así, usted sólo necesita encontrar una secuencia en $\ell_\infty^*$ que es débil$^*$ nulo, pero no de la norma null.
Dicha secuencia existe en $\ell_\infty^*$ ya que: 1) debilidad de las$^*$ secuencias convergentes en $\ell_\infty^*$ son débilmente convergente ($\ell_\infty^*$ tiene el Grothendieck de la propiedad), y 2) $\ell_\infty^*$ no tiene la propiedad de Schur (débilmente convergente secuencias norma convergente).
(Puede ser una manera indirecta de mostrar el resultado en el párrafo anterior.)