La expectativa y la varianza de $\int_0^t W(s)dW(s)$

Question

Soy nuevo en el Cálculo Estocástico.

$$ \ I = \int_0^t W(s)dW(s)\,. $$

Así que quiero averiguar E(I) y Var(I). Esta es la respuesta estoy viniendo para arriba con, es esta la forma correcta?

$$ I = 0.5(W(t)^2 - t) $$ $$ E[I] = 0.5(E[W(t)^2] - t) = 0.5(E[(W(t)-W(0))^2] - t) = 0.5(t-t) = 0 $$ $$ Var(I) = 0.25(Var[W(t)^2]) = 0.25(E[W(t)^4] - (E[W(t)^2])^2) = 0.25(3t^2 - c^2) = 0.5 t^2 $$

Answer 1

Lo que hizo es correcto. Creo que es útil señalar que $\forall X,\ Y$ $\in M^2[0,T]$ las siguientes propiedades: $$E[\int_a^b X_sdW_s]=0, \ \ \ \ \ 0\leq a<b\leq T$$

$$Cov(\int_a^b X_sdW_s,\int_a^b Y_sdW_s)=E[\int_a^b X_sY_s ds], \ \ \ \ \ 0\leq a<b\leq T.$$ En su caso $$E[\int_0^t W_sdW_s]=0$$ y $$Var(\int_0^t W_sdW_s)=E[\int_0^tW_s^2ds]=\int_0^tE[W_s^2]ds=\int_0^tsds=\frac{t^2}{2}$$ que es exactamente el resultado.