La desigualdad entre AM-GM

Question

Demostrar que para $x>y>0$ $$\sqrt {xy} <\frac {x-y}{\ln x-\ln y}<\frac {x+y}2$$ Using $x=y+k$, we can turn the inequality into $$\sqrt{y^2+ky}<\frac k{\ln(1+\frac ky)}<y+\frac k2$$ Now what do i do to the $\ln\left(1+\frac ky\right) $ term? We can't approximate it using the expansion of $\ln(1+x)$ as we have no information on $k$, i.e., how big $x$ is in comparison to $$ y. Por favor, dar una sugerencia.

Answer 1

Sugerencia: Hacer la sustitución: $t = \dfrac{x}{y} > 1$, entonces la desigualdad tiene que probar:

$$t^{1/2} \le \dfrac{t - 1}{\ln t} \le \frac{1+t}{2}$$

Usted puede tomar su diferencia como una función de la $t$, calcular su derivada y mostrar que ellos son positivos. Usted puede ver aquí , por ejemplo.

Answer 2

Para $ 0<a<b$ $ A(a,b)=\frac{a+b}{2}, G(a,b)=\sqrt{ab}, L(a,b)=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}$

Prueba 1.:

Con $\frac{b}{a} = x > 1$ tenemos: $\sqrt{x}< \frac{x - 1}{\ln x} < \frac{1}{2}( x + 1)$

Vamos funciones de $f, g : [ 1, \infty) \rightarrow \textbf{R}$: $f( x ) = \ln x -\sqrt{x}+ \frac{1}{\sqrt{x}}, g( x ) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x+1}$

con $f'( x ) = -\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2x\sqrt{x}}, g'( x ) = \frac{(x -1)^2}{x(x+1)}$$f(x) < 0 < g( x ),(\forall )x > 1 $.

Prueba 2.:

Vamos $ H_{a,b}( x ): [ 0, 1 ]\rightarrow \textbf{R}$, $H_{a,b}( x ) = \frac{1}{2}( a^x.b^{1-x} + a^{1-x}.b^x )$ con $ L( a,b ) = \int^{1}_{0}H_{a,b}( x )dx, $ $H_{a,b}( 0 ) = H_{a,b}( 1 ) = A( a, b)$ $H_{a,b}( \frac{1}{2} )= G( a, b ).$

$H^{'}_{a,b}( x ) = \frac{1}{2}( a^x.b^{1-x} - a^{1-x}.b^x )\ln \frac{b}{a}$ implica $G( a, b ) \leq H_{a,b}( x ) \leq A( a, b),(\forall) x\in [ 0, 1 ].$

En lo que sigue utilizamos otras representaciones de la media logarítmica utilizando integral:

$\frac{1}{L( a, b )} = \frac{1}{b - a}\int^{b}_{a}\frac{dx}{x}=\frac{1}{b - a}\int^{\frac{b}{a}}_{1}\frac{dx}{x}$

$\frac{1}{L( a, b )} = \int^{1}_{0}\frac{dx}{xa + ( 1- x )b}$

$\frac{1}{L( a, b )} = \lim_{x\rightarrow 0}\int^{x}_{0}\frac{dt}{(t + a)( t + b )}$

Prueba 3.:

Para $(\forall)x > 0$ tenemos: $\frac{2}{(x+1)^2}\leq\frac{1}{2x}\leq\frac{x+1}{4x\sqrt{x}}$

La integración de esta desigualdad de $1$ $\frac{b}{a}$obtener :

$\frac{b-a}{b+a}\leq\frac{1}{2}ln\frac{b}{a} \leq\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}...$

Prueba 4.:

Para $(\forall)x \geq 0$ tenemos:

$x^{2} + 2x\sqrt{ab} + ab \leq x^{2} + x(a + b) + ab \leq x^{2} + x(a + b) + (\frac{a + b}{2})^2$

Revertir esas desigualdades y la integración de ellos a partir de su última representación se obtiene la desigualdad.

Prueba 5.:

Observando $a = e^{x}, b = e^{y}$ demostró la desigualdad puede escribirse como

$e^{\frac{x+y}{2}} \leq \frac{e^y - e^x}{y - x} \leq \frac{e^x + e^y}{2}.$

Dividiendo esta desigualdad con $e^{\frac{x+y}{2}}$la primera parte para escribir:

$1\leq \frac{e^{\frac{y - x}{2}} - e^{\frac{x - y}{2}}}{y - x}\Longleftrightarrow \frac{y - x}{2} \leq \sinh\frac{y -x}{2}$ cierto que $t \leq \sinh t,( \forall) t\geq 0.$

Del mismo modo, la segunda parte se reduce a $t \geq \tanh t,( \forall) t\geq 0.$

Prueba 6.:

La desigualdad en la prueba anterior puede ser obtenida mediante la aplicación de Hadamard-Hermite de la desigualdad de la función $f: \textbf{R}\rightarrow \textbf{R}, f( x ) = e^{x}$

(Hadamard-Hermite de la desigualdad: $f ( \frac{a + b}{2} )\leq\frac{1}{b - a}.\int^{b}_{a}f( x ) dx \leq \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}.$)

La desigualdad del enunciado se puede demostrar mediante la CBS con las integrales de funciones convenientes elegido.

Prueba 7.:

Si $f:[a, b]\rightarrow(0, \infty)$

$\int^{b}_{a}(\sqrt{f(x)})^2dx.\int^{b}_{a}\frac{1}{(\sqrt{f(x)})^2}dx\geq(\int^{b}_{a}(\sqrt{f(x)})^2.\frac{1}{(\sqrt{f(x)})^2}dx)^2$ y

$\int^{b}_{a}f(x)dx.\int^{b}_{a}\frac{1}{f(x)}dx\geq (b-a)^2.$

Ahora para $f(x)=\frac{1}{x}$ tenemos $(\ln b-\ln a).\frac{b^2-a^2}{2}>(b-a)^2$ ie $L ( a, b )\leq A(a, b).$

Para $f(x)=e^x$ es obtenido $(e^b-e^a)(e^{-a}-e^{-b})>(b-a)^2$ y observando $a=\ln x, b=\ln y$ cu $0<x<y$ resultado $G(x,y)< L(x,y).$

Prof 8.:

Si $f:[a, b]\rightarrow(0, \infty)$ $\int^{b}_{a}(f(x))^2dx.\int^{b}_{a}1dx\geq(\int^{b}_{a}f(x).1dx)^2$ o $(b-a)\int^{b}_{a}(f(x))^2dx\geq(\int^{b}_{a}f(x)dx)^2.$ Ahora, la aplicación de esta desigualdad por $f(x)=\frac{1}{x}$ se obtiene

$(\ln b- \ln a)^2<(b-a)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$ de donde se desprende que el $G(a,b)< L(a,b).$

Para $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ rezult $4(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2<(b-a)(\ln b-\ln a).$ Anotando $\sqrt{b}=y$ $\sqrt{a}=x$ hemos $4(y-x)<2(y^2-x^2)(\ln y-\ln x)$y, finalmente, $L(x,y)<A(x,y).$

(Ponencia presentada en el XVIII congreso de la Sociedad Matemática de Rumania, Iasi, 24 al 26 de octubre de 2014)