Deje $G=(V,E)$ ser conectado a un plano gráfico. Esta gráfica tiene una característica de Euler dado por $\chi=v-e+f$ donde $v$ es el número de vértices, $e$ el número de aristas y $f$ el número de caras.
Sé que $\chi$ es un entero no negativo, pero me preguntaba qué valores de $\chi$ puede asumir. Es posible determinar algunos límites en $\chi$?
Generalmente hablando, $\chi$ no es limitada, y puede ser positivo o negativo. Por ejemplo, $\chi$ por un doble toroide es $-2$.
Para grafos planares, $\chi$ es siempre 2. Consulte esta página para varias pruebas de este hecho.
$\chi$ para un compacto de la superficie está dada por la fórmula:
$$\chi = 2(1 - g)$$
Donde $g$ es el género de la superficie, o de una forma más intuitiva, el número de agujeros en ella. Esto demuestra que $\chi$ puede ser reducido tanto como quieras, aumentando el número de agujeros en una superficie compacta.
Por otro lado, $\chi$ $n$ desconectado esferas es $2n$. De manera similar, podemos aumentar el $\chi$ tanto como quieras, aumentando el número de esferas.
Ver artículo de Wikipedia para muchos más ejemplos.
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