Demostrando modular declaraciones

Question

Demostrar que para cualquier número $k$, $$2^{nk} \equiv 1 \pmod {2^n + 1} $$

He intentado utilizar la inducción con el caso base $k = 0$, pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

$2^{n}$ es congruente a $(-1)$ modulo $2^n+1$.

Por lo $2^{nk}$ es congruente a $(-1)^k=1$ porque $k$ es incluso.

Answer 2

Deje $$2^n \equiv −1\, {(\mod2^n+1)}\implies {(2^n)}^k \equiv -1^k \pmod {2^n + 1}\implies$$ $$2^{nk} \equiv (-1)^k \pmod{2^n + 1} $$ Por lo tanto $$ 2^{nk} \equiv 1 \pmod {2^n + 1} \iff k := \{2x\,|\, x\in \mathbb{Z}\}$$