¿Cómo calcular la integral de Riemann-Stieltjes / Lebesgue(-Stieltjes)?

Question

Las definiciones no me parecen fáciles de calcular. Por ejemplo, la integral de Lebesgue(-Stieltjes) es un concepto de la teoría de la medida, que implica la construcción de la función escalonada, las funciones simples, la función no negativa hasta la función general.

Me preguntaba, en la práctica, cuáles son las formas habituales de calcular la integral de Lebesgue(-Stieltjes).

1. ¿Es lo más deseable, cuando es posible convertir la integral de Lebesgue(-Stieltjes) a la integral de Riemann(-Stieltjes) y la integral de Riemann-Stieltjes) a integral de Riemann, y luego aplicar los métodos aprendidos de cálculo para calcular la integral de integral de Riemann?
2. ¿Qué pasa con los casos en los que la equivalencia/conversión no es posible? ¿Es la definición la única manera de calcular las integrales de Riemann-Stieltjes o integrales de Lebesgue(-Stieltjes)?

Mis preguntas provienen de una respuesta anterior por Gortaur

Por lo general, sólo las integrales de Lebesgue (Lebesgue-Stieltjes) se utilizan se utilizan en la teoría de la probabilidad. Por otro lado otro lado para calcularlas se puede utilizar una equivalencia de Lebesgue-Stieltjes y integrales de Riemann-Stieltjes (siempre que condiciones necesarias).

Gracias y saludos.

Answer 1

Incluso con la integral de Riemann, no solemos utilizar la definición (como límite de las sumas de Riemann, o verificando que el límite de las sumas superiores y las inferiores existen y son iguales) para calcular integrales. En su lugar, utilizamos el Teorema Fundamental del Cálculo, o los teoremas sobre la convergencia. Los siguientes están tomados de la obra de Frank E. Burk Un jardín de integrales, que recomiendo. Uno puede utilizar estos teoremas para calcular integrales sin tener que bajar hasta la definición (cuando son aplicables).

Teorema (Teorema 3.8.1 en AGoI; Convergencia de las funciones integrables de Riemann ) Si $\{f_k\}$ es una secuencia de funciones integrables de Riemann que convergen uniformemente a la función $f$ en $[a,b]$ entonces $f$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y $$R\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{k\to\infty}R\int_a^b f_k(x)\,dx$$

(donde " $R\int_a^b f(x)\,dx$ " significa "la integral de Riemann de $f(x)$ ").

Teorema (Teorema 3.7.1 en AGoI; Teorema fundamental del cálculo de la integral de Riemann ) Si $F$ es una función diferenciable en $[a,b]$ y $F'$ está acotada y es continua en casi todas partes en $[a,b]$ entonces:

1. $F'$ es integrable por Riemann en $[a,b]$ y
2. $\displaystyle R\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)$ para cada $x\in [a,b]$ .

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Del mismo modo, para los Riemann-Stieltjes, no solemos recurrir a la definición, sino que intentamos, en la medida de lo posible, utilizar teoremas que nos indiquen cómo evaluarlos. Por ejemplo:

Teorema (Teorema 4.3.1 en AGoI) Supongamos $f$ es continua y $\phi$ es diferenciable, con $\phi'$ siendo integrable de Riemann en $[a,b]$ . Entonces la integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\phi$ existe, y $$\text{R-S}\int_a^b f(x)d\phi(x) = R\int_a^b f(x)\phi'(x)\,dx$$ donde $\text{R-S}\int_a^bf(x)d\phi(x)$ es la integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $d\phi(x)$ .

Teorema (Teorema 4.3.2 en AGoI) Supongamos $f$ y $\phi$ son funciones acotadas sin discontinuidades comunes en el intervalo $[a,b]$ y que la integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\phi$ existe. Entonces la integral de Riemann-Stieltjes de $\phi$ con respecto a $f$ existe, y $$\text{R-S}\int_a^b \phi(x)df(x) = f(b)\phi(b) - f(a)\phi(a) - \text{R-S}\int_a^bf(x)d\phi(x).$$

Teorema. (Teorema 4.4.1 en AGoI; FTC para integrales de Riemann-Stieltjes ) Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $\phi$ es monótona creciente en $[a,b]$ entonces $$\displaystyle \text{R-S}\int_a^b f(x)d\phi(x)$$ existe. Definir una función $F$ en $[a,b]$ por $$F(x) =\text{R-S}\int_a^x f(t)d\phi(t),$$ entonces

1. $F$ es continua en cualquier punto donde $\phi$ es continua; y
2. $F$ es diferenciable en cada punto donde $\phi$ es diferenciable (casi en todas partes), y en esos puntos $F'=f\phi'$ .

Teorema. (Teorema 4.6.1 en AGoI; Teorema de convergencia para la integral de Riemann-Stieltjes. ) Supongamos $\{f_k\}$ es una secuencia de funciones continuas que convergen uniformemente a $f$ en $[a,b]$ y que $\phi$ es monótona creciente en $[a,b]$ . Entonces

1. La integral de Riemann-Stieltjes de $f_k$ con respecto a $\phi$ existe para todos los $k$ y

2. La integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\phi$ existe; y

3. $\displaystyle \text{R-S}\int_a^b f(x)d\phi(x) = \lim_{k\to\infty} \text{R-S}\int_a^b f_k(x)d\phi(x)$ .

Una de las razones por las que se suele restringir la integral de Riemann-Stieltjes a $\phi$ de la variación acotada es que toda función de variación acotada es la diferencia de dos funciones monótonas crecientes, por lo que podemos aplicar teoremas como el anterior cuando $\phi$ es de variación acotada.

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Para la integral de Lebesgue, hay muchos teoremas de "convergencia": teoremas que relacionan la integral de un límite de funciones con el límite de las integrales; son muy útiles para calcular integrales. Entre ellos:

Teorema (Teorema 6.3.2 en AGoI) Si $\{f_k\}$ es una secuencia monótona creciente de funciones medibles no negativas que convergen puntualmente a la función $f$ en $[a,b]$ entonces la integral de Lebesgue de $f$ existe y $$L\int_a^b fd\mu = \lim_{k\to\infty} L\int_a^b f_kd\mu.$$

Teorema (Teorema de convergencia dominada de Lebesgue; Teorema 6.3.3 en AGoI) Supongamos $\{f_k\}$ es una secuencia de funciones integrables de Lebesgue ( $f_k$ medible y $L\int_a^b|f_k|d\mu\lt\infty$ para todos $k$ ) que convergen puntualmente en casi todas partes a $f$ en $[a,b]$ . Dejemos que $g$ sea una función integrable de Lebesgue tal que $|f_k|\leq g$ en $[a,b]$ para todos $k$ . Entonces $f$ es integrable por Lebesgue en $[a,b]$ y $$L\int_a^b fd\mu = \lim_{k\to\infty} L\int_a^b f_kd\mu.$$

Teorema (Teorema 6.4.2 en AGoI) Si $F$ es una función diferenciable, y la derivada $F'$ está acotado en el intervalo $[a,b]$ entonces $F'$ es integrable por Lebesgue en $[a,b]$ y $$L\int_a^x F'd\mu = F(x) - F(a)$$ para todos $x$ en $[a,b]$ .

Teorema (Teorema 6.4.3 en AGoI) Si $F$ es absolutamente continua en $[a,b]$ entonces $F'$ es integrable en Lebesgue y $$L\int_a^x F'd\mu = F(x) - F(a),\qquad\text{for }x\text{ in }[a,b].$$

Teorema (Teorema 6.4.4 en AGoI) Si $f$ es continua y $\phi$ es absolutamente continua en un intervalo $[a,b]$ entonces la integral de Riemann-Stieltjes de $f$ con respecto a $\phi$ es la integral de Lebesgue de $f\phi'$ en $[a,b]$ : $$\text{R-S}\int_a^b f(x)d\phi(x) = L\int_a^b f\phi'd\mu.$$

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Para las integrales de Lebesgue-Stieltjes, también tienes un FTC:

Teorema. (Teorema 7.7.1 en AGoI; FTC para integrales de Lebesgue-Stieltjes ) Si $g$ es una función medible de Lebesgue en $R$ , $f$ es una función integrable de Lebesgue no negativa en $\mathbb{R}$ y $F(x) = L\int_{-\infty}^xd\mu$ entonces

1. $F$ es acotada, monótona creciente, absolutamente continua y diferenciable en casi todas partes con $F' = f$ casi en todas partes;
2. Existe una medida de Lebesgue-Stieltjes $\mu_f$ de modo que, para cualquier conjunto medible de Lebesgue $E$ , $\mu_f(E) = L\int_E fd\mu$ y $\mu_f$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
3. $\displaystyle \text{L-S}\int_{\mathbb{R}} gd\mu_f = L\int_{\mathbb{R}}gfd\mu = L\int_{\mathbb{R}} gF'd\mu$ .

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La integral de Henstock-Kurzweil también tiene teoremas de convergencia monótona (si $\{f_k\}$ es una secuencia monótona de funciones integrables H-K que convergen puntualmente a $f$ entonces $f$ es integrable H-K si y sólo si las integrales de la $f_k$ están acotadas, y en ese caso la integral del límite es igual al límite de las integrales); un teorema de convergencia dominada (muy similar a la convergencia dominada de Lebesgue); un FTC que dice que si $F$ es diferenciable en $[a,b]$ entonces $F'$ es integrable H-K y $$\text{H-K}\int_a^x F'(t)dt = F(x) - F(a);$$ (esto es válido si $F$ es continua en $[a,b]$ y tiene a lo sumo un número contable de puntos excepcionales en $[a,b]$ también); y un teorema de la "2ª FTC".

Answer 2

La respuesta depende de lo que se entienda por práctica. En las situaciones más comunes la integral de una función $f$ normalmente se puede encontrar comparando el $f$ a las funciones $g$ para el que ya sabemos cómo es la integral. Para la gran clase de funciones de uso común todas las nociones de las integrales coinciden, por lo que no es necesario convertir de una integral a otra, cuando ya se ha calculado una variante.

Si para la función determinada sólo se aplica una noción de integral, se sigue aplicando el principio de comparación. El ejemplo clásico es la Función Dirichlet para la que no existe la integral de Riemman. Por otro lado ésta es cero en casi todas partes, y la integral de Lebesgues es la misma para las funciones que difieren en el conjunto de la medida de Lebesgue cero. Así obtenemos que la integral de Lebesgue de la función de Dirichlet es la integral de Lebesgue de cero. Para la función cero las integrales de Rieman y de Lebesgue coinciden, por lo que podemos calcular la que sea más fácil.

Otro truco es construir la secuencia de funciones con integrales conocidas que convergen a la función de interés. Entonces la integral suele ser el límite de las integrales correspondientes. Por supuesto, esto no es válido para todos los tipos de convergencia y funciones.

En resumen, la definición no es la única forma de calcular la integral. La definición se utiliza para calcular las integrales de las funciones más sencillas, el resto se suele calcular manipulando la función o la integral a la solución ya conocida.

Answer 3

Será mejor que proporciones el área (o el problema) que te lleva al cálculo de esta integral. Desde el punto de vista computacional hay dos "tipos" de integrales que te llevan a dos métodos generales correspondientes de su cálculo. Dependen de la distribución $Q$ . Consideremos el caso de $\mathbb{R}$ .

El primer tipo es una integral de una distribución absolutamente continua $Q$ - es decir, de tal manera que $Q(dx) = h(x)\,dx$ para la función $h$ que es una función de densidad. Estas integrales suelen calcularse como una integral de Riemann (utilizando los métodos correspondientes).

Todas las demás integrales unidimensionales para los cálculos pueden reducirse al caso anterior. Para la función de distribución acumulativa $g$ (que siempre existe) se puede escribir $$ dg(x) = h(x)dx + \sum\limits_{i=1}^n p_i\delta(x-x_i) $$ donde $\delta(x)$ es una función de Dirac.

Entonces para la función continua $f$ $$ \int\limits_{\mathbb{R}}f(x)\,dg(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)h(x)\,dx +\sum\limits_{i=1}^n p_if(x_i). $$

Este también será el caso si $f$ tiene un número contable de discontinuidades que no coinciden con la secuencia $(x_i)$ de puntos masivos.