¿Por qué es que nadie parece factor cuadráticas en un solo soporte, por ejemplo: $$2x^2+8x+6$$ en $$2x\left(x+4+3\cdot\frac{1}{x}\right)\quad\text{or}\quad 2x\left(x+4+\frac{3}{x}\right)\quad ?$$
Respuestas
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Rob Lachlan
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Rory MacLeod
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El Factoring constante de cuadráticas con el fin de hacer monic es bastante común. Sin embargo, el factoring en el método que usted tiene introduce una singularidad removible en $x=0$. Usando tu ejemplo $p(x) = 2x^2+8x+6$, $p(0)=6$. Sin embargo, si llamamos $g(x) = 2x(x+8+\frac{3}{x})$, $g(0)$ no está definido. Claramente $p(x) = g(x) \forall x \neq 0$, pero perdemos la continuidad y la diferenciabilidad en$x = 0$$g$.
El dominio de la naturaleza de la función $f(x) = 2x^2 +8x+6$ es todos los números reales (recuerde, el "dominio de la naturaleza" es el conjunto de todos los números reales para los cuales la fórmula de 'sentido', o los rendimientos de un número real).
El dominio de la naturaleza de la $g(x) = 2x\left(x + 4 + \frac{3}{x}\right)$ es todos los números reales excepto $x=0$, porque no se puede enchufar en $x=0$ en la fórmula (división por cero hace que el universo explote, después de todo).
Así que uno de los principales problema con la escritura de $2x^2 + 8x + 6 = 2x\left(x + 4 + \frac{3}{x}\right)$ es que no es cierto. Ellos no son iguales! El lado izquierdo tiene sentido en $x=0$, pero el lado derecho no.
Otro problema importante es que los polinomios son agradables y fáciles, mientras que las funciones racionales son menos agradables y menos fácil (sólo tiene que esperar hasta llegar a las integrales: si usted tiene la integración de una función racional, vas a gemir y a establecerse en algunos extenuantes de trabajo; si usted tiene que integrar un polinomio, vas a sonreír a lo fácil de su vida va a ser). Así que usted preferiría tratar con polinomios de funciones racionales. Aquí se inicia con un polinomio, $2x^2+8x+6$, y terminar con un producto de un polinomio y una función racional, por lo que ha hecho su vida más difícil.
Otro problema es que uno está muy interesado en saber cuando una función es igual a $0$. Si usted factor como de costumbre, $2x^2+8x+6 = 2(x^2+4x+3) = 2(x+1)(x+3)$, entonces es muy fácil de averiguar donde $2x^2+8x+6$ es cero, debido a que un producto es cero si y sólo si al menos uno de los factores es cero, por lo que necesitaría $2=0$ (imposible), $x+1=0$ (lo que significa que $x=-1$) o $x+3=0$ (lo que significa que $x=-3$). Con un poco de práctica se puede, básicamente, sólo "leer" donde el producto es cero. Si nos factor como usted sugiere, $2x^2+8x+6 = 2x\left(x + 4 + \frac{3}{x}\right)$, en primer lugar usted podría ser engañado en el pensamiento de que $x=0$ será cero, puesto que usted tiene el factor de $2x$ (que podría ser cero en $x=0$; pero, por desgracia, no se puede enchufar en $x=0$ en el segundo factor, por lo que causa problemas). Y en segundo lugar, para averiguar cuándo $x+4+\frac{3}{x}$$0$, usted podría terminar encima de tener que averiguar donde $x^2+4x+3=0$, es decir, que el problema original. Por lo que la factorización de la que usted propone no simplifica el problema, y se introduce la posibilidad de error.
Que un par de razones, en cualquier caso.
Gavin
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David HAust
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De hecho, en algunos contextos, es útil emplear racional factorizations. Por ejemplo, véase esta cuestión , cuya solución implica la reescritura de los polinomios simétricos como polinomios en $\rm\ x + 1/x\ $ p. ej.
$$\rm a\ x^4 + b\ x^3+ 2\:a\ x^2 + b\ x + a\ \ =\ \ \bigg(a\ \bigg(x+\frac{1}x\bigg)^2 + b\ \bigg(x+\frac{1}x\bigg)+c\bigg)\ x^2$$
Generalmente contextos disfrutando de algún tipo de innata estructura racional o la simetría del mismo modo puede beneficiarse de factorizations o composiciones que involucran la función racional. Usted descubrirá algunos bastante ejemplos de tal, si el estudio de la teoría de Galois.
