Demostrar $f(x) = x^2$ es continua en a $x=4$

Question

Quiero mostrar que la $f(x) = x^2$ es continua en a $x=4$

y he aquí cómo la prueba va:

$\forall\epsilon>0$, $\exists\delta>0$ s.t $\forall x$, $|x-4|<\delta$ $\implies |f(x)-16|<\epsilon$

Así que, trabajando hacia atrás, se obtiene:

$$|f(x)-16|<\epsilon ⇔ |x^2 - 16| < \epsilon$$ $$⇔ |x+4||x-4| < \epsilon$$

Idealmente estamos tratando de hacer en esta forma: $|x-4|<\delta$

Ya que no podemos dividir a $\epsilon$ $|x+4|$ necesitamos para controlar ese plazo, asumiendo a priori que $\delta \le 1$

Aquí es donde tengo algunas preguntas:

1. ¿Cómo se puede controlar un plazo
2. Lo que somos en última instancia, tratando de conseguir mediante el control del plazo, asumiendo a priori que $\delta \le 1$ (¿cómo nos va a ayudar proceder?)

Si alguien puede responder a la pregunta de arriba como si soy completamente nuevo en la idea de la continuidad y de la $\epsilon-\delta$ que sería muy apreciada.

Creo que si soy capaz de entender cómo controlar un término y el propósito detrás de él (¿cómo nos va a ayudar en la final) que creo que podría ser capaz de terminar la prueba por mi cuenta.

Nota: no quiero que la evidencia completa para esta pregunta, sino más bien si alguien puede responder a esas preguntas de arriba.

Answer 1

Si asumimos $\delta < 1$, entonces usted sabe que:

$$\begin{align*} |x-4|<\delta \\ \Rightarrow |x-4|<1 \\ \Rightarrow -1 < x-4 < 1 \\ \Rightarrow 3 < x < 5 \end{align*} $$

Pero entonces, podemos determinar lo que esto significa alrededor de $|x+4|$: $$\begin{align*} &\Rightarrow 7 < x+4 < 9 \\ &\Rightarrow |x+4| < 9 \end{align*} $$

Así que esto significa que si asumimos $\delta<1$, tenemos:

$$|f(x)−16| = |x+4||x-4| < 9|x-4|$$

Y si dejamos $\delta = \min\left(1,\frac{\epsilon}{9}\right)$, entonces:

$$|f(x)-16| < 9|x-4| < 9\left(\frac{\epsilon}{9}\right) = \epsilon$$

Answer 2

Queremos mostrar que $|(x-4)(x+4)|$, que pueden ser "pequeño" por la elección de $x$ convenientemente cerca de $4$. Por lo tanto el tamaño de $|x-4|$ está bajo nuestro control. El plazo $x+4$ podría echar a perder las cosas. Sin embargo, si decimos que, en cualquier caso, vamos a elegir a $|x-4|\lt 1$, entonces sabemos que $|x+4|$ menos de $9$.

Answer 3

Observe que $|x-4|<\delta$ es equivalente a $4-\delta < x < 4+\delta$. Por lo tanto, si añadimos $4$ en cada término de esta desigualdad, obtenemos $8-\delta<x+4<8+\delta$, por lo que el $|x+4|<8+\delta$. Desde que eventualmente querrá $|x+4||x-4|<\varepsilon$, queremos $(8+\delta)(\delta)<\varepsilon$. Si $\delta<1$,$(8+\delta)(\delta)<9\delta$, y por lo $\delta<\min\{\varepsilon/9,1\}$ va a hacer el truco.

Ahora podemos escribir el conjunto de la prueba:

Vamos a mostrar que $f(x)=x^2$ es continua en a $x=4$. Deje $\varepsilon>0$ ser arbitraria. Entonces, no es $\delta=\min\{\varepsilon/9,1\}>0$ tal que para todos los $|x+4|<\delta$ hemos $$|f(x)-f(4)|=|x^2-16|=|x+4||x-4|< (8+\delta)(\delta)\leq 9\delta=9\min\{\varepsilon/9,1\}\leq 9\cdot \varepsilon/9=\varepsilon,$$ donde hemos utilizado el hecho de que si $|x-4|<\delta$,$|x+4|<8+\delta$, y el hecho de que $\delta<1$$\delta<\varepsilon/9$. Por lo tanto $|f(x)-f(4)|<\varepsilon$ todos los $x$$|x-4|<\delta$, y la prueba está terminado.