La transformada de Fourier de $e^{-i\pi x^2}$

Question

Estoy buscando la transformada de Fourier de la función $$ f(x):=e^{-i\pi x^2}, $$ donde definimos $$ \hat f(\xi):=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-2\pi i x\xi}dx. $$ Primero de todo, la función de $f$ no es integrable, pero es limitado y por lo tanto puede ser considerado como una base de distribución en $\mathcal S$, la de Schwartz función de espacio.

Completando cuadrados como de costumbre, se sugiere fuertemente que su transformada de Fourier, en el sentido de templado de distribuciones, está dada por $$ \frac 1 {\sqrt i} e^{ i\pi \xi^2}. $$ El único problema es que no sé cómo determinar la rama de $\sqrt i$. Alguna sugerencia?

Answer 1

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\pi x^2} e^{-2\pi i x \xi} dx &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i\pi [(x+\xi)^2-\xi^2]} dx \\ &= e^{i\pi \xi^2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\pi x^2} dx \\ &= \frac{e^{i\pi \xi^2}}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

La última integral (Fresnel función) es fácilmente evaluados mediante un arco circular de contorno subtiende un ángulo de $\pi/4$.