si $a,b$ tal $a^2+b^2+4=2a+ab+2b$ ,encontrar $a^2b$

Question

Dejar $a,b\in R$ y tal $$a^2+b^2+4=2a+ab+2b$$

Encuentre $a^2b=?$

Mi idea: $$a^2-2a+1+b^2-2b+1+2+ab=0$$ $$(a-1)^2+(b-1)^2+ab+2=0$$ entonces no puedo

tal vez este problema puede utilizar la desigualdad para resolverlo, que usted

Answer 1

La expresión puede escribirse como

$a^2-ab+b^2-2a-2b+4=\frac{3}{4}(a-b)^2 + \frac{1}{4}(a+b-4)^2=0$

Desde entonces, $(a-b)^2\ge0$ y $(a+b-4)^2\ge 0$ ,

Por lo tanto, las únicas soluciones reales posibles son $a-b=0$ y $a+b-4=0$

Es decir $a=b=2$ .

$a^2b=8$ .

Answer 2

Otra solución: ya que $$a^2-(2+b)a+b^2-2b+4=0$$ $$\Delta_{a}=(2+b)^2-4(b^2-2b+4)=-3b^2+12b-12=-3(b^2-4b+4)=-3(b-2)^2\le 0$$ así que $$b-2=0\Longrightarrow b=2\Longrightarrow a=2$$

Answer 3

Puedes ver el problema como la solución de una ecuación cuadrática en $a$ . Las soluciones son $$a_{\pm}=1+\frac{1}{2} \left(b\pm \sqrt{3} \sqrt{-(b-2)^2}\right)$$ Desde $a,b\in R$ , $b$ debe ser igual a $2$ Entonces $a=2$ .