Homeomorphism de dos cifras

Question

Tengo que mostrar sombrero de las dos figuras siguientes se homeomórficos el uno al otro. Deje que la primera y la segunda cifras se denota como $X,Y$ respectivamente.

$X$ es obtenido por la costura torcida tres tiras de papel para dos discos circulares de papel y $Y$ es obtenido por la costura de dos tiras largas de papel como se muestra en la figura.

Mi intento: Desde una doble trenzado banda de Möbius es homeomórficos a un cilindro, figura $X$ es homeomórficos a "Una banda de Möbius con un pequeño disco quitado de su interior" ( espero que esté bien. Si no, usted puede dar a su argumento de por qué no es correcto y, a continuación, proceder de otra manera.) También podemos mostrar el $Y$ es homeomórficos a "Un toro con un pequeño disco quitado de ti". Ahora sabemos que si $f:Y\rightarrow X$ es un homeomorphism, a continuación,$f(\partial Y)=\partial X$. Obviamente $f|_{\partial Y}$ es continua. Pero aquí como por mi descripción $\partial X$ tiene dos componentes, mientras que $\partial Y$ tiene un solo componente, por lo que no puede ser homeomórficos el uno al otro.

Así que por favor, encontrar el fallo en mi argumento y me dan una pista para probar esto! Si estos no son homeomórficos, entonces también me dan alguna sugerencia para refutar esta(aunque he desmentido, necesito saber si hay alguna otra manera en que podemos pensar acerca de esto).

También tenga en cuenta que, ambos tienen el mismo homotopy tipo como los dos de ellos se deforman retraer a la figura $\infty$ , por lo que hay una posibilidad de que estas cifras se homeomórficos.

P. S. Bueno, me puedes proporcionar una respuesta intuitiva también!

Answer 1

No creo que la figura de la $X$ es una banda de Möbius con un disco eliminado. Para una cosa, que sólo tiene un límite de componente (sólo moviendo el dedo alrededor de los arcos y viendo que cubre todo). En segundo lugar, es orientable, ya que siempre pasan a través de un número de twisted bandas cuando estás de viaje por cualquier curva cerrada.

Si usted es capaz de utilizar la clasificación de las superficies teorema, entonces usted puede comprobar los dos son homeomórficos mediante el cálculo de la característica de Euler (que es $-1$ para ambos), el número de componentes del borde ($1$ para ambos), y el hecho de que ambos son orientables.

De una manera más directa para ver que son homeomórficos, podemos empezar por observar en la figura $Y$. Se trata de un anillo con una tira pegada a él. Así que queremos describir $X$ en el mismo camino. Ahora si cortamos uno de los giros de la figura $X$, nos quedamos con una banda con dos giros en ella, que es homeomórficos a un anillo. Por lo $X$ es en el hecho de homeomórficos a un anillo con una banda pegado a él. Hay dos formas de pegamento en una banda, una que resulta en una superficie orientable y uno que se traduce en un no-orientable de la superficie, y sabemos $X$ es orientable. De modo que la superficie $X$ es homeomórficos a la superficie orientable donde le pegue una banda a un anillo, que es también homeomórficos a $Y$.