Diferentes resultados en la integración de ambos lados de $\sin{2x}=2\cos x\sin x$

Question

Siento que hay algo que me estoy perdiendo aquí. Al integrar ambos lados de la identidad trigonométrica $\sin{2x}=2\cos x\sin x$ I obtener resultados diferentes.

El lado izquierdo de los resultados de los cursos en $-\frac{1}{2}\cos{2x}+C$.

El lado derecho puedo resolver con u-sustitución:

$u=\cos x$

$du=-\sin x dx$

$-2\int udu=-u^2+C=-\cos^2 x+C$

Mientras escribía esta pregunta me di cuenta de otra identidad $\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$. Así que al parecer el $\frac{1}{2}$ cae por la $+C$ resultante de la integración indefinida? Este es todavía un poco confuso para mí.

Answer 1

Estás en lo correcto recordar que $\cos^2x=\frac{1+\cos 2x }{2}$.

Esta es una integral indefinida. Así, el término constante $\frac 12$ no es relevante. Que es

$$\int \sin 2x \,dx=-\frac12\cos (2x)+C_1 \tag 1$$

y

$$\begin{align} \int \sin 2x \,dx&=-\cos^2 x+C_2\\\\ &=-\frac12\cos 2x+(-\frac12 +C_2)\\\\ &=-\frac12\cos 2x+C_3\tag 2 \end{align}$$

donde nos absorbe las constantes $-\frac12+C_2$ en una nueva constante y llamó a que los nuevos constante $C_3$. En cuanto a la integración constante es arbitraria, $(1)$ $(2)$ son equivalentes declaraciones.

Answer 2

Proceso de integración le da los resultados correctos a una constante arbitraria.

Ambos resultados son esencialmente los mismos.

$$ - \frac{\cos 2 x}{2} + C_1 = - \frac { 2 \cos ^2 x -1}{2} + C_1 = - \cos ^2 x + C_2 $$

Es por eso que es mejor escribir $ C_1, C_2 $ para la integración de las constantes.