Probar o refutar que si $f$ es función continua y $A$ está cerrado, entonces $\,f[A]$ está cerrada.

Question

Si $f:X\to Y$ es una función continua y $A\subset X$ es un conjunto cerrado, a continuación, $f[A]$ también está cerrada.

Sé que si $f[A]$ es cerrado implica $A$ es cerrado, a continuación, $f$ es continua, pero no estoy seguro de que lo contrario es cierto, no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

NO es cierto en general.

Por ejemplo, supongamos $f: \mathbb R\to\mathbb R$, con $$ f(x)=\mathrm{e}^{x}, $$ que es continua, y deje $A=(-\infty,0]$, que es un subconjunto cerrado de $\mathbb R$, en su habitual topología.

Sin embargo, $\,\,f[A]=(0,1]$, que no está cerrado.

Answer 2

Otro, y quizás más simple, contraejemplo es $$ f(x)=\frac{x}{1+x}:\overbrace{[0,\infty)}^{\text{cerrado}}\mapsto\overbrace{[0,1)}^{\text{cerrado}} $$ Te darás cuenta de que todos los contraejemplos consisten en dominios no acotados. Un cerrado y acotado establece en $\mathbb{R}^n$ es compacto, y es cierto que si $f$ es continua y $A$ es compacto, entonces $f(A)$ es compacto, que también está cerrado.

Answer 3

$$\arctan:\mathbb R\to(-\pi/2,\pi/2)\text{ is surjective.}$$