¿Cómo se resuelven estas ecuaciones para $a$, $b$, $c$ y $x$?
Tengo lo siguiente:
\begin{align} 1 &= 2a+b+c\\ a &= (a+b)x + 0.25(a+c)\\ a&=(a+c)(1-x)\\ b&=a(1-x)+c(x-0.25)\\ c&=b(1-x)+a(x-0.25) \end{align}
He intentado, pero terminó circular en el punto en el que empecé. Alguien me puede ayudar?
Si simplificamos la segunda ecuación obtenemos $$(a+b)x=\frac34a-\frac{c}4.\tag{A}$$ Si simplificamos la tercera ecuación, obtenemos $$(a+c)x=c.\tag{B}$$ Ahora podemos simplemente añadir estas dos ecuaciones y utilizar $(2a+b+c)x=x$ sobre el lado izquierdo para obtener $$x=\frac{3a+3c}4.\tag{C}$$ Si multiplicamos esta ecuación por $x$ nuevo, obtenemos $$x^2=\frac34(a+c)x\overset{(B)}=\frac34c,$$ es decir, $$c=\frac43x^2$$ Así que nos las arreglamos para expresar $c$ en términos de $x$.
A partir de (C) tenemos $a+c=\frac43x$. Mediante esto podemos sacar $a=\frac43x-c$, es decir, $$a=\frac43x-\frac43x^2=\frac43x(1-x).$$
De $2a+b+c=1$ tenemos $b=1-2a-c$, lo que conduce a $$b=1-\frac83x+\frac43x^2.$$
Es relativamente fácil de comprobar (simplemente conectando los valores en las ecuaciones) que estas ecuaciones cumplir con $2a+b+c=1$ y también en (A) y (B). Esto significa que las tres primeras ecuaciones se cumplen para cualquier $x$.
Ahora queda comprobar el cuarto y el quinto de la ecuación. A menos que yo haya cometido un error al transcribir las ecuaciones de WolframAlpha, ambas ecuaciones conducen a la ecuación cúbica $$8x^3-13x^2+12x-3=0.$$ Ver aquí y aquí.
Esta ecuación parece tener ningún racional raíces. (Al menos Wolfram Alpha no tuvo que devolver. Esto se puede comprobar manualmente el uso racional de las raíces de la prueba, aunque esto puede ser un montón de trabajo.)
Así que la mejor manera es, probablemente para tratar de resolver numéricamente. También existen métodos exactos para encontrar raíces de ecuaciones cúbicas, pero tienden a ser demasiado laborioso para ser hecho a mano, a menos que los coeficientes y las raíces de la "agradable".
El uso de bases de Grobner en maxima da:
grobner_basis([2*a+b+c-1,(a+b)x+(a+c)/4-a,(a+c)(1-x)-a,a*(1-x)+c*(x-1/4)-b,b*(1-x)+a*(x-1/4)-c]);
(A - 44) x + (- 144)^2 + 213 + (- 36),
(- 11) c + (a - 48) a^2 + 60 a + (- 12),
(- 11) b + 48 a^2 + (- 82) a + 23,
(- 144)^3 + 381 a^2 + (- 312) + 64
La última ecuación es una cúbicos en "una" sola.
La segunda y última soluciona para b dado.
La tercera resuelve para c en una.
La parte superior de la ecuación se resuelve para x en una.
Grobner Base y el algoritmo de Buchberger explicar cómo funciona esto.
saludos arturo
x minúscula
grobner_basis([2*a+B+C-1,(a+B)x+(A+C)/4-A,(a+C)(1-x)-A,A*(1-x)+C*(x-1/4)-B,B*(1-x)+A*(x-1/4)-C]);
(- 3) C + 4 x^2 ,
(- 3) B + 4 x^2 + (- 8) x + 3,
(- 3) + (- 4) x^2 + 4 x,
(- 8) x^3 + 13 x^2 + (- 12) x + 3
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