Si $f,g$ son continuas en a $a$, muestran que $h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ $k(x)=\min\{f(x),g(x)\}$ son también continuas en $a$

Question

Si $f,g$ son continuas en a $a$, muestran que $h(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ $k(x)=\min\{f(x),g(x)\}$ son también continuas en $a$. Aquí está mi intento de prueba. Se siente muy elaborado y no estoy seguro de si es correcto. Por favor alguien puede señalar algún error o lugares en los que puede mejorar. Gracias!

Por la definición de continuidad en $a$ $f,g$ tenemos que $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$\lim\limits_{x\to a}g(x)=g(a)$. Supongamos que $f(a)>g(a)$. Entonces existe un $\delta>0$ tal que $f>g$ todos los $x$ satisfacción $|x-a|<\delta$. A continuación, para $x$ satisfacción $|x-a|<\delta$ tenemos $h(x)=f(x)$ $k(x)=g(x)$ e lo $h$ $k$ son continuas en a $a$ porque $f$ $g$ son continuas en a $a$. Ahora si $f(a)<g(a)$ simplemente re-etiquetar $f=\tilde{g}$$g=\tilde{f}$, por lo que el $\tilde{f}(a)>\tilde{g}(a)$ y podemos aplicar el resultado anterior para demostrar que de nuevo $h$ $k$ son continuas en a $a$.\

Ahora si $f(a)=g(a)$ a continuación, se pueden distinguir tres casos. $f\geq g$ en un pequeño vecindario sobre $a$, $f\leq g$ en un pequeño barrio acerca de la $a$ o $f\geq g$ en un lado de la $a$ $f\leq g$ en el otro lado. En el primer caso se asume que el $f\geq g$ en algunos de barrio acerca de la $a$. Entonces, desde el $f(a)=g(a)$ tenemos $h(x) = f(x)$ en este barrio y $k(x) = g(x)$ y de nuevo vemos que el $h$ $k$ son continuas en a $a$ debido a la continuidad de $f$$g$$a$. Del mismo modo, si $f\leq g$ en un barrio alrededor de $a$ $h(x)=g(x)$ $k(x)=f(x)$ en este barrio y $h$ $k$ son continuas en a $a$.

Supongamos que justo a la izquierda de $a$ tenemos $f\geq g$ y justo a la derecha de $a$ tenemos $f\leq g$. A continuación,$\lim\limits_{x\to a^-}h(x)=\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)=h(a)=g(a)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\lim\limits_{x\to a^+}h(x)$. Del mismo modo $\lim\limits_{x\to a^-}k(x)=\lim\limits_{x\to a^-}g(x)=g(a)=k(a)=f(a)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}k(x)$. Por lo $\lim\limits_{x\to a}h(x)=h(a)$$\lim\limits_{x\to a}k(x)=k(a)$, lo que significa que $h$ $k$ son continuas en a $a$. Por último si $f\leq g$ justo a la izquierda de $a$ $f\geq g$ justo a la derecha de $a$ podemos etiquetar $f=\tilde{g}$ $g=\tilde{f}$ y aplicar el último resultado para mostrar $h$ $k$ son continuas en a $a$.

De nuevo, por favor señale los errores que yo pueda haber cometido. Gracias!!

Answer 1

$$\max [f,g] (x)=\dfrac {f(x)+g(x)}{2}+ \dfrac{|f(x)-g(x)|}{2},$$ $$\min [f,g] (x)=\dfrac {f(x)+g(x)}{2}- \dfrac{|f(x)-g(x)|}{2}.$$ Todas las funciones son continuas.

Answer 2

Otra manera de mostrar esto es:

$$h(x)=\begin{cases}f(x), \text{ if }f(x)\ge g(x)\\ g(x), \text{ if } f(x)\le g(x)\end{casos}$$ Ahora, $d(x):=f(x)-g(x)$ es continuo, siendo una suma de funciones continuas. De esta manera el $\max$-función de $h$ se convierte en $$h(x)=\begin{cases}f(x), \text{ if }d(x)\ge 0\\ g(x), \text{ if } d(x)\le 0\end{casos}$$ Eso significa que $h$ es continua en a $d^{-1}((-\infty,0])$, y es continua en a $d^{-1}([0,∞))$. Ambos conjuntos son cerrados, por lo que es continua en total.

Answer 3

Si $f(a) = g(a)$, el resto es obvio. Suponga $f(a) > g(a) (\iff f(a) - g(a) > 0)$. Tener tanto continua en $a$ significa que por cada $\epsilon > 0$ hay $\delta >0$ tal que para cada $x \in (a-\delta,a+\delta)$: $f(x) - g(x) > 0$ o $f(x) > g(x)$ O de: $$\max(f(x),g(x))=f(x),\min(f(x),g(x))=g(x)$$ Por lo tanto, $\max(f(x),g(x))$ $\min(f(x),g(x))$ son continuas en a $a$.

Answer 4

En general: si una función $h$ puede ser escrito como una composición $h=u\circ v$ de funciones continuas $u$$v$, entonces es continua.

En general: si $Y\times Z$ está equipada con el producttopology, a continuación, una función de $v=\left(v_{1},v_{2}\right):X\rightarrow Y\times Z$ es continua si $v_{1}$ $v_{2}$ son continuas.

Aquí usted puede tome $u=\max:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ $v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{\mathbb{R}}^{2}$ definido por $x\mapsto\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$.

Parece ser suficiente para demostrar $u=\max:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua, y el mismo procedimiento funciona para $\min:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$.

Esto hace que las cosas menos complicadas.

Answer 5

Para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta_f,\delta_g>0$ tal que $|x-a|<\delta_f$ implica $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ que $|x-a|<\delta_g$ implica $|g(x)-g(a)|<\varepsilon$.

Tome $\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}$ y, a continuación, $$|x-a|<\delta \Rightarrow |h(x)-h(a)|<\varepsilon.$$