Elegir un número aleatorio entre 0 y 1 y registrar su valor. Siga haciendo esto hasta que la suma de los números que supera los 1. Cómo muchos intentos qué tenemos que hacer?

Question

Elegir un número aleatorio entre 0 y 1 y registrar su valor. Hacer esto de nuevo y añadir el segundo número para el primer número. Siga haciendo esto hasta que la suma de los números que supera los 1. ¿Cuál es el valor esperado del número de números aleatorios necesarios para lograrlo?

Answer 1

Aquí está una (tal vez) más elementales método. Deje $X$ la cantidad de números que usted necesita para agregar hasta que la suma supera $1$. Entonces (por la linealidad de las expectativas) $$ \mathbb{E}[X] = 1 + \sum_{k \geq 1} \Pr[X > k]. $$ Ahora $X > k$ si la suma de los primeros a $k$ números de $x_1,\ldots,x_k$ es menor que $1$. Esto es exactamente igual al volumen de la $k$-dimensional conjunto $$ \{(x_1,\ldots,x_k) : \sum_{i=1}^k x_i \leq 1, \, x_1,\ldots,x_k \geq 0\}. $$ Esto se conoce como el $k$-dimensiones simplex. Al $k = 1$, obtenemos un segmento de recta de longitud $1$. Al $k = 2$, obtenemos un derecho triángulo equilátero con lados de longitud~$1$, por lo que el área es $1/2$. Al $k=3$, se obtiene una pirámide triangular (tetraedro) con la unidad de los lados, de manera que el volumen es $1/6$. En general, el volumen es $1/k!$, y así $$ \mathbb{E}[X] = 1 + \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k!} = e. $$

Answer 2

Suponiendo que las cifras provienen de una distribución uniforme sobre $[0,1]$ y que los ensayos son independientes, aquí es un esquema (este es el ejemplo 7.4 4h. en Sheldon Ross' Un Primer Curso de Probabilidad, sexta edición):

1) Vamos a $X_i$ ser el número obtenido en el $i$'th juicio.

2) Por $0\le x\le1$, vamos a $Y(x)$ es el mínimo número de ensayos necesarios para que la suma de los $X_i$ supera $x$. Set $e(x)=\Bbb E [Y(x)]$.

3) Calcular $e(x)$ acondicionado en el valor de $X_1$: $$\etiqueta{1} e(x)=\int_0^1 \Bbb E [ Y(x) | X_1=y]\, dy. $$ En este caso, utilice el hecho de que $$\tag{2}\Bbb E [ Y(x) | X_1=y] = \cases{1,& $y>x$\cr 1+e(x-y),& $s\le x $}.$$

La sustitución de $(2)$ a $(1)$ le dará $$\etiqueta{3} e(x)=1+\int_0^x e(u)\,du. $$

4) Resolver la ecuación $(3)$ (diferenciando ambos lados con respecto a $x$)$e(x)$.

5) Que desea localizar $e(1)$.

Answer 3

Aquí hay otro método. Esta es exactamente la misma técnica de Yuval ha dado el anterior, pero con un paso adicional, que pasa a través de la informática de la fmp primera antes de calcular la expectativa. Espero que esta información le ayudará a entender el problema desde un ángulo ligeramente diferente.

Nos deja denotar por $N$ el número de variables aleatorias que tenemos que añadir para que la suma exceda $1$. En primer lugar, encontrar la distribución de probabilidad de la función de masa) de $N$. La manera más fácil de hacer esto es mediante el cálculo de $P(N > n)$$n=1,2,3,\dots$. Una vez que sabemos esto, podemos calcular $P(N = n) = P(N > n-1) - P(N > n)$.

En el caso de que $(N > n)$ en la llanura inglés, dice que la suma de los primeros a $n$ uniforme de variables aleatorias no exceda $1$. La probabilidad de este evento es, por tanto,$P(N > n) = P(U_1 + U_2 + \dots + U_n < 1)$. Esto puede ser calculado por un estándar multi-dimensional integral a $\frac{1}{n!}$. Si usted no desea utilizar el cálculo, se puede justificar este resultado geométricamente pero la integración es tal vez el más natural de enfoque para evaluar esta probabilidad. Por lo tanto, tenemos $P(N = n) = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{n-1}{n!}$$n=1,2,3\dots$.

Una vez que sabemos el pmf de N, podemos calcular

$E(N) = \sum_{n=1}^{\infty} n P(N=n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$.