Qué $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{n}{f(1)} \int_0^1 x^n f(x) dx \right)^n$ existe?

Question

Mi pregunta es teniendo la siguiente como root.

Por un lado, para $f : [0,1] \to \mathbb R$ continuo, se puede probar que $$\lim\limits_{n \to +\infty} n \int_0^1 x^n f(x) dx =f(1)$$

Por otro lado, en el post mencionado, se comprobó que ese $$\lim_{n\to +\infty}\left(2n\int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+x^2}dx\right)^n$$ existe usando integración por partes.

Por lo tanto mi pregunta es la siguiente.

¿Qué podemos decir de $$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{n}{f(1)} \int_0^1 x^n f(x) dx \right)^n$$ if $f$ is only supposed continuous with $f(1) \neq 0$?

Answer 1

No es necesario que convergen. Por ejemplo, considere el $f(x) = 1 + \sqrt{1-x}$.

$$ n \int_0^1 x^n f(x)\; dx = n \left( \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{\sqrt{\pi} \;\Gamma(n+1)}{2\; \Gamma(n + 5/2)}\right) \sim 1 + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}}$$

por lo $$ \lim_{n \to \infty} \left( n \int_0^1 x^n f(x)\; dx\right)^n = \infty$$

Por otro lado, si $f \in C^1$, integración por partes da

$$ \int_0^1 x^n f(x)\; dx = \dfrac{f(1)}{n+1} - \dfrac{1}{n+1} \int_0^1 x^{n+1} f'(x)\; dx \sim \dfrac{f(1)}{n+1} - \dfrac{f'(1)}{(n+1)^2} $$

y luego (si $f(1) \ne 0$)

$$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n}{f(1)} \int_0^1 x^n f(x)\; dx \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{f'(1) - f(1)}{f(1) n}\right)^n = \exp\left( \dfrac{f'(1) - f(1)}{f(1)}\right)$$