¿Cómo puedo comprobar la convergencia de la secuencia? ¿Diverge?

Question

¿Cómo puedo comprobar la convergencia de la secuencia $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$ ? Creo que es divergente, porque está limitada por debajo de $\frac{n(n+1)}{2\sqrt{n^2+n}} $ y por encima de $\frac{n(n+1)}{2\sqrt{n^2+1}}$ ¿Es esto correcto?

Answer 1

SUGERENCIA: puedes utilizar el Teorema del Apretón.

$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ .

Answer 2

Desde $n^2\le n^2+k\le\left(n+\frac12\right)^2$ para $0\le k\le n$ tenemos $$ \frac1{n+\frac12}\sum_{k=1}^nk\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{\sqrt{n^2+k}}\le\frac1n\sum_{k=1}^nk $$ Así, $$ \frac n2\le\frac{n(n+1)}{2n+1}\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{\sqrt{n^2+k}}\le\frac{n+1}2{} $$ Es decir, la secuencia diverge.

Answer 3

Siguiendo mi comentario. La suma se puede estimar como

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{\sqrt{n^2+k} } \sim \int_{1}^{n} \frac{x}{\sqrt{n^2+x} } dx=\dots\,.$$