Característica polinomio con coeficientes c0=, c1=cn=1. Probar: $V = Ker(T) \oplus T(V) $

Question

Pregunta de examen final: $V$ es un espacio vectorial , $\dim V = n$, e $T:V\rightarrow V$ es una transformación lineal.

Suponemos que el polinomio característico de la transformación lineal $$p_T(x) = \sum_{i=0}^nc_ix^i $$ ha coeficientes de $c_0 = 0$, $c_1=c_n= 1$. Necesito demostrar que: $$V = Ker(T) \oplus T(V)$$

Por favor, cualquier insinuación, no tengo ni idea de cómo abordar esta pregunta.

Answer 1

Usted sabe que $\chi_T=X+c_2X^2+\cdots+c_{n-1}X^{n-1}+X^n$.

Nos muestran que $\ker T\cap \operatorname{im} T=0$. En efecto, supongamos que $Tv=0$, e $v=Tw$ algunos $w$. Usted desea mostrar a $v=0$. Alternativamente, usted quiere mostrar que si $T^2w=0$; a continuación,$w\in\ker T$. El uso de Cayley Hamilton, usted sabe $$T+c_2T^2+\cdots+c_{n-1}T^{n-1}+T^n=0$$

Conectar $w$, se puede ver lo que sucede?

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SPOILERS

Conectar $w$, consigue $$Tw+c_2T^2w+\dots c_{n-1}T^{n-1}w+T^nw=0$$ Pero usted sabe $Tv=TTw=0$, por lo que cada término después de la $Tw$ se pierde, y usted consigue $Tw=0$ como se desee. Por lo tanto, $\ker T\cap \operatorname{im}T=0$. Desde siempre nos han $\dim \ker T+\dim{\rm im}\; T=\dim V$; hemos terminado.