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A partir de la representación
$$\pi \cot \pi z = \lim{N\to\infty} \sum{n=-N}^N \frac{1}{z-n},$$
obtenemos
\begin{align} \pi \tan \pi z &= -\pi \cot \pi\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\ &= \lim{N\to\infty} \sum{n=-N}^N \frac{1}{n+\frac{1}{2}-z}\ &= \lim{N\to\infty} \left(\frac{1}{N+\frac{1}{2}-z} + \sum{n=0}^{N-1} \frac{2z}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-z^2}\right)\ &= 2z \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-z^2} \end {Alinee el}
y
$$\frac{\pi \tan \pi z}{6z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3n^2+3n - 3\left(z^2-\frac{1}{4}\right)}.$$
No debería ser difícil encontrar los valores de $a$ de eso.
Aquí hay una solución: $a = 9/4$.
Entonces
$$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{3n^2+3n-a}=-4/9 + \frac1{3}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+n-3/4}=0$$
Tenga en cuenta que
$$\frac1{3}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+n-3/4}=\frac1{6}\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{n-1/2}-\frac{1}{n+1/2}\right]+\frac1{6}\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{n+1/2}-\frac{1}{n+3/2}\right]\\=\frac{1}{6}(2+2/3)=\frac{4}{9}$$
