secuencia exacta

Question

Quiero encontrar todas las posibles $A$ en el SES siguiente:

$$0\to \mathbb Z\to A\to Z_n \to 0$$

Sé que por Teorema de la estructura de grupos abelian finito de generado, $A\cong \mathbb Z\oplus \mathbb Z_d$. Entonces ¿cómo podemos encontrar la relación entre $d$y $n$? ¿Cuáles son dos mapas en el centro?

Ya que este es un ejercicio de libro de Hatcher en la sección de principio de la teoría de la homología, una solución sin usar Ext será mucho mejor.

Answer 1

Ya no sé lo que podemos suponer, vamos a clasificar todas esas extensiones por fuerza bruta. Ya que es un problema en un capítulo acerca de la homología, $A$ es probablemente significaba ser abelian pero vamos a seguir adelante y hacer el caso general. Voy a esbozar una prueba en forma de ejercicios. Al final, voy a esbozar la relación entre lo explícito de las construcciones y la cohomological argumento.

En primer lugar, el nombre de las flechas en la secuencia exacta: $i: \mathbf Z \rightarrow A$$p: A \rightarrow \mathbf Z_n$.

Deje $a = i(1)$ y deje $b \in A$ tal que $p(b) = 1$.

Ejercicio 1: $a$ $b$ generar $A$

Por eso, $$A = \langle a, b : \text{ some relations we need to find}\rangle$$

Ejercicio 2: $b^n = a^r$ $bab^{-1} = a^s$ para algunos enteros $r$$s$.

Sugerencia: ¿cuáles son las imágenes de $bab^{-1}$ $b^n$ bajo $p$?.

Ejercicio 3: $a^{s^n} = a$ e lo $s = \pm 1$.

Sugerencia: utilice las relaciones que tenemos hasta ahora. Para la última parte, cabe recordar que la $a$ es el generador de una copia de $\mathbf Z$$A$.

Ejercicio 4: Supongamos $s = 1$. Deje $t = \gcd(n, r)$ y escribir $$1 = \alpha \frac n t + \beta \frac r t,$$ for suitable $\alpha, \beta \in \mathbf Z$. Then, $$A \cong \mathbf Z \times \mathbf Z_t,$$ with $i': \mathbf Z \rightarrow \mathbf Z \times \mathbf Z_t$ and $p': \mathbf Z \times \mathbf Z_t \rightarrow \mathbf Z_n$ given by $$i'(1) = (n/t,-\beta)\\ p'(1,0) = \beta \\ p'(0,1) = n/t.$$

Sugerencia (para que no se parece a la magia): $s = 1$ implica $A$ abelian y la relación $b^n = a^r$ puede entonces escribirse como $1 = (b^{n/t}a^{-r/t})^t$. De hecho, $t$ es el orden de $b^{n/t}a^{-r/t}$$A$. Mostrar que $b^{n/t}a^{-r/t}$ $b^{\beta}a^{\alpha}$ generar $A$ y considerar la homomorphism $\varphi: \mathbf Z \times \mathbf Z_t \rightarrow A$$\varphi(1,0) = b^{\beta}a^{\alpha}$$\varphi(0, 1)=b^{n/t}a^{-r/t}$. Se sienta en el diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} 0 @>>> \mathbf Z @>{i'}>> \mathbf Z \times \mathbf Z_t @>{p'}>> \mathbf Z_n @>>> 0\\ & @V{=\,}VV @VV{\varphi}V @VV{\, =}V \\ 0 @>>> \mathbf Z @>>{i}> A @>>{p}> \mathbf Z_n @>>> 0\end{CD}

Ejercicio 5: Supongamos $s = -1$. A continuación, $n$ es incluso, $r = 0$ y $$A \cong \mathbf Z \rtimes_\sigma \mathbf Z_n,$$ where $\sigma: \mathbf Z_n \rightarrow \operatorname{Aut}(\mathbf Z)$ is given by $\sigma(1)(1) = -1$. The maps $i': \mathbf Z \rightarrow \mathbf Z \rtimes \mathbf Z_n$ and $p': \mathbf Z \rtimes \mathbf Z_n \rightarrow \mathbf Z_n$ are given by $$i'(1) = (1,0)\\ p'(1,0) = 0 \\ p'(0,1) = 1.$$

Sugerencia: en este caso,$ba^rb^{-1} = a^{-r}$$a^r = b^n$, lo $r = 0$$b^n = 1$. A la conclusión de que $A$ es isomorfo a $\mathbf Z \rtimes \mathbf Z_n$ y clasificar todos los homomorphisms $\mathbf Z_n \rightarrow \operatorname{Aut}(\mathbf Z)$. Tenga en cuenta que $\mathbf Z$ tiene sólo dos automorfismos y, por el ejercicio 3, $n$ es que cuando la $s = -1$.

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Lo que está pasando en cohomological términos?

$\operatorname{Ext}(\mathbf Z_n, \mathbf Z)$ clasifica las extensiones de $\mathbf Z_n$ $\mathbf Z$ $\mathbf Z$- módulos o, en otras palabras, como abelian grupos. Para calcular los $\operatorname{Ext}(\mathbf Z_n, \mathbf Z)$, generalmente uno podría aplicar $\operatorname{Hom}(\cdot, \mathbf Z)$ a la "multiplicación por $n$" secuencia $$0 \rightarrow \mathbf Z \rightarrow \mathbf Z \rightarrow \mathbf Z_n \rightarrow 0$$ to get $\operatorname{Ext}(\mathbf Z_n, \mathbf Z) = \mathbf Z/n\mathbf Z$. Exercise 4 makes this equality explicit. The class of $r$ in $\operatorname{Ext}(\mathbf Z_n, \mathbf Z) = \mathbf Z/n\mathbf Z$ corresponds to the extension $\mathbf Z \times \mathbf Z_t$ with maps $p'$ and $i'$ como en la declaración del ejercicio 4.

No abelian grupo de extensiones de $\mathbf Z_n$ $\mathbf Z$ no son detectados por $\operatorname{Ext}(\mathbf Z_n, \mathbf Z) = H^2(\mathbf Z_n, \mathbf Z)$. Para detectar la más general de las extensiones, se podía ver, por ejemplo, en $H^3$ (ver aquí). OMI Ejercicio 5 es una más a la tierra en el tratamiento de este caso.

Answer 2

Este es un buen ejercicio para un comienzo de la sección de homología de la teoría, ya que haciendo esto sin Ext va a hacer que usted realmente apreciar la maquinaria álgebra homológica tiene para ofrecer.

No creo, que voy a ir a través de todos los detalles, pero vamos a empezar:

Primero de todo, tenemos el caso de $\mathbb Z_d = 0$ (uno podría referirse a esto como $d=1$), es decir, una breve secuencia exacta

$$0 \to \mathbb Z \to \mathbb Z \to \mathbb Z_n \to 0.$$

Por supuesto, el primer mapa es dado por $\cdot m$ algunos $m \in \mathbb Z$ y mediante la búsqueda en el cokernel, conseguimos que los $m = \pm n$. El segundo mapa es dado por $1 \mapsto e$ donde $e$ es co-prime a $n$.

El mucho más complicado caso es el caso de la $d \geq 2$, es decir, donde el sumando $\mathbb Z_d$ se produce realmente.

Llame el primer mapa de $g: \mathbb Z \to \mathbb Z \oplus \mathbb Z_d$ y el segundo mapa $f: \mathbb Z \oplus \mathbb Z_d \to \mathbb Z_n$. Indicar el kernel de $f$$K$. Por exactitud llegamos $K \cong \mathbb Z$.

Tenga en cuenta que $f(0,n)=0$. $K$ es de torsión libre, sino $(0,n) \in \mathbb Z \oplus \mathbb Z_d$ es de curso de torsión (aniquilados por $d$), por lo tanto, tenemos $(0,n)=(0,0)$, es decir,$d|n$.

Así que tenemos todas las posibilidades para que las $A$, es decir $A \in \{\mathbb Z \} \cup \{\mathbb Z \oplus \mathbb Z_d ~ | ~ d \geq 2,d | n\}$.

Todavía tenemos que averiguar los mapas en el segundo caso:

De curso $g$ está dado por $g(1) = (m,e)$ algunos $m,e \in \mathbb Z, 0 \leq e <d$. Vamos a llamar al cokernel $C_{m,e}$.

$C_{m_e}$ es generado por $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ y tenemos relaciones $me_1+ee_2=0$$de_2=0$, lo $C_{m_e}$ es presentado por $$\begin{pmatrix}m&0\\e&d\end{pmatrix}.$$ Upto multiplication in $SL_2(\mathbb Z)$, this should be equal to $$\begin{pmatrix}n&0\\0&1\end{pmatrix}$$, es decir, mirando montaje ideales, tenemos que

$$md=\pm n ~~ \text{ and } ~~ (m,e,d)=(1).$$

Así que hemos encontrado todas las posibilidades para $g$. Para encontrar $f$, tenga en cuenta que tenemos el siguiente diagrama conmutativo de exacta secuencias:

$$\requieren{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> \mathbb Z^2 @>\begin{pmatrix}m&0\\e&d\end{pmatrix}>> \mathbb Z^2 @>>> C_{m,e} @>>>0\\ @VVV @VXVV @VVYV @VVV @VVV \\ 0 @>>> \mathbb Z^2 @>>\begin{pmatrix}n&0\\0&1\end{pmatrix}> \mathbb Z^2 @>p>> \mathbb Z_n @>>>0 \end{CD}$$ donde$X$$Y$) se obtienen mediante el algoritmo para determinar el Smith de forma normal.

El mapa de $p \circ Y$ factores a través de $\mathbb Z \oplus \mathbb Z_d$ y el de la factorización de la es $f$.