¿Es la esfera de Riemann compacta aunque el plano complejo no lo sea?

Question

El plano complejo, conjunto de todos los $z=x+iy$ donde $x$ y $y$ son reales, la superficie es igual al producto cruzado de $x$ y $y$ es igual a aleph-algo (esa no es la pregunta). Proyectando el plano sobre una esfera, y añadiendo el complejo infinito al conjunto (sin un valor para $\arg(z)$ ), da la esfera de Riemann, que, al ser una esfera, es compacta.

¿La adición del infinito, como una especie de límite, hace que el plano complejo sea compacto? ¿Es la esfera de Riemann sin el infinito compacta, ya que tiene un límite abierto? además, si el plano hiperbólico puede mostrarse en un disco, ¿qué significa eso? La respuesta a esta pregunta podría aclarar principalmente las definiciones en mis nuevos estudios de topología de los manifiestos, etc. Gracias.

Answer 1

Para la esfera de Riemann, es la compactación en un punto del plano. Así que sí, más bien por definición es compacto.

En general, un espacio topológico no compacto se puede compactar mediante la adición adecuada de "puntos en el infinito" . Entre las más útiles (además de la compactación de un punto mencionada anteriormente) se encuentra la compactación Stone-Cech, que en cierto sentido añade el "más puntos", y cuya existencia para cualquier espacio topológico se deriva del axioma de elección.

Otra compactación que surge a menudo es la compactación Penrose/conforme del espacio-tiempo en la relatividad general.

A propósito de su pregunta sobre el plano hiperbólico. Topológicamente el plano hiperbólico es el mismo que el plano normal. Al considerar el modelo del disco de Poincare y "añadir" la frontera del disco, se compacta el plano hiperbólico. Como ya se ha dicho, cualquier espacio topológico admite alguna compactación. Lo que es más útil es considerar las compactificaciones especiales: por ejemplo, la compactación de un punto del plano complejo en la esfera de Riemann es conforme con el adicional estructura geométrica en las dos superficies. Del mismo modo, las compactaciones de Penrose respetan la estructura geométrica en el espacio-tiempo.

Answer 2

El plano complejo $\mathbb{C}$ no es compacto. Por ejemplo, aquí hay una cubierta abierta que no admite ninguna subcubierta finita:

$$ {\mathcal U} = \left\{ U_n\right\} \qquad \text{with} \qquad U_n = \left\{ z \in \mathbb{C} \ \vert \ \vert z \vert < n \right\} \ . $$

La razón por la que ${\mathcal U}$ no admite ninguna subcubierta finita es fácil: si se elige sólo un número finito de $U_n$ 's, entonces su unión sería igual a la mayor de ellas, que no es la totalidad $\mathbb{C}$ .

Ahora, gracias a la proyección estereográfica Piensa en esto $U_n$ dentro de la esfera de Riemann $S^2$ . No forman una cubierta de $S^2$ ya que $\infty$ (= el Polo Norte) no está incluido en ninguno de ellos. Por lo tanto, hay que añadir una vecindad abierta del infinito. Por ejemplo, la imagen de

$$ V = \left\{ z \in \mathbb{C} \ \vert \ \vert z \vert > 394 \right\} $$

por la proyección estereográfica. Entonces, tendríamos una cubierta abierta de $S^2$ :

$$ {\mathcal U}' = \left\{ U_n \ \vert \ n \in \mathbb{N}\right\} \cup \left\{ V\right\} \ , $$

que admite una subcubierta abierta. Por ejemplo,

$$ U_{395} \ , \quad V \ . $$