Circular usos de la regla de L'Hôpital

Question

Si usted trata de encontrar el $\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ usando la regla de L'Hôpital, usted encontrará que los flip-flops de ida y vuelta entre el$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Hay otras expresiones que hacer una cosa similar cuando L'Hôpital la regla se aplica a ellos? Ya sé que esto se aplica a cualquier fracción de la forma $\frac{\sqrt{x^{2n}+c}}{x^n}$.

Answer 1

De $$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{g(x)}{f(x)}$$ tenemos $$2f(x)f'(x)=2g(x)g'(x)$$ y la integración de $$f(x)^2=g(x)^2+C$$ o $$f(x)=\pm\sqrt{g(x)^2+C}$$ siempre que $C\ge-g(x)^2$ por cada $x$ en el dominio de $g$.

Answer 2

Aquí está una lista de límites en relación con el OP pregunta. L'Hospital de la regla no puede ser utilizada para cada uno.

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}% \right) }{\sin x}$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{x-\sin x}{x+\sin x}$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\left( 2x+\sen 2x\right) }{% \left( 2x\sin x\right) e^{\sin x}}$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{2+x^{2}}}{x}$

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{\cos x}$

6. $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt{9x+1}}{\sqrt{x+1}}$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sin x}}$

8. $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cot x}{\csc x}$

9. $\lim\limits_{x\rightarrow \left( \pi /2\right) ^{-}}\dfrac{\sec x}{% \tan x}.$

Answer 3

Básicamente lo que hace es preguntar si podemos encontrar las funciones de $f, g$ tal forma que:

$$\frac{f'}{g'} = \frac{g}{f}$$ es decir,

tal que $$ff'=gg'$$

Y en este caso en particular, usted tiene $ff'=x$, de la cual las soluciones son de la forma $x \mapsto \sqrt{x^2 + c}$ (se puede ver que $x \mapsto x$, $x>0$ es un caso particular cuando a $c=0$).

Entonces usted ha encontrado la solución para $ff' = nx^{2n-1}$.

Ahora para cualquier función de $v$, usted puede buscar soluciones de la ecuación:

$$ff' = v$$ and if you find two solutions $f, g$ that don't touch $0$, el mismo fenómeno se produce con su relación.

EDIT: probablemente podríamos buscar más grandes ciclos, como

$$\frac{f'}{g'}=\frac{u}{v} \text{, and } \frac{u'}{v'} = \frac{g}{f}$$

Pero se ve un poco más difícil de estudiar, ya que se siente como un montón de cosas pueden suceder.