De Alimentación Modular de la ecuación

Question

Tengo un problema interesante he resuelto hace un tiempo, y me preguntaba si alguien tiene una solución diferente.

Sean p y q dos prime enteros. Demostrar que $p^p+q^q\equiv 0 \pmod{p+q}$

Se me ocurrió:

Prueba.

En primer lugar, nos da que queremos demostrar a $p^p+q^q\equiv 0 \pmod{p+q}$ También sabemos que p y q son dos números primos y extraño. Sabemos que un extraño, multiplicado por una impar es impar, por lo $p^p$ $q^q \equiv 1 \pmod 2$

Vemos que $(1+1 \bmod 2)\equiv 0 \pmod 2$

Con el fin de demostrar que el $p^p+q^q\equiv 0 \pmod{p+q}$, tenemos que demostrar $p^p\equiv p \pmod {p+q}$ $q^q \equiv q \pmod {p+q}$

Utilizando el Teorema de Fermat donde $a=p$, $$(p^{p-1} \bmod (p+q))\cdot(p \bmod (p+q)) \equiv p \pmod {p+q}$$

Vamos a hacer un procedimiento similar con $q$ conseguir $p^p+q^q\equiv 0 \pmod {p+q}$. Q. E. D

Gracias

Answer 1

Sugerencia $\rm\ mod\ p+1\!:\:\ p\:\equiv\:\! {-}\!1\ \Rightarrow\ p^m + (p+2)^n\equiv\: (-1)^m + 1^n\equiv\: 0\:$ al $\rm\:m\:$ es impar

Alternativamente deje $\rm\:p = 2k-1,\ q = 2k+1.\:$ Si $\rm\:m,n\:$ son impares, entonces por el teorema del binomio

$$\begin{eqnarray}\rm p^m + q^n &=&\rm\: (2k-1)^m + (2k+1)^n \\ &=&\rm\: (-1)^m + (-1)^{m-1} 2mk + 4k^2(\cdots)\: +\: 1 + 2nk + 4k^2(\cdots) \\ &=&\:\rm 2\:(m+n)\:k\ +\ 4k^2(\cdots) \end{eqnarray}$$

que es divisible por $\rm\:p+q = 4k\:$ desde $\rm\:m+n\:$ es incluso.

Answer 2

Lo que realmente tiene que ver con "el doble de los números impares", no sólo de los números primos. Al $n \in \mathbb N$ es impar, como polinomios tenemos $t^n-t = (t-1)(t^{n-1}+\ldots+t)$ y $t^n-t = (t+1)(t^{n-1}-t^{n-2}+\ldots-t)$, donde el segundo de los factores ha $n-1$ términos. Así que para cualquier entero impar $x$, $x^n - x$ es divisible por $2(x-1)$ y $2(x+1)$. En particular, si $y = x+2$, $x^n + y^m \equiv x + y \equiv 0$ mod $x+y=2(x+1)=2(y-1)$ para cualquier positivos enteros impares $m$$n$.

Answer 3

Deje que nuestros números se $p$ $q$ donde $q=p+2$. A continuación,$p\equiv -q \pmod {p+q}$, y por lo tanto $$p^p+q^q \equiv (-q)^p +q^q=q^p((-1)^p +q^2)=q^p(q^2-1)\pmod{p+q}.$$ Por lo que es suficiente para mostrar que el $p+q$ divide $q^2-1$. Pero $p+q=2q-2$, e $q^2-1=(q-1)(q+1)$, por lo que desde $q+1$ es el resultado de la siguiente manera.