La evaluación de $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1- \cos x)}{x^4}$

Question

$$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1- \cos x)}{x^4}$$

No creo que la regla de L'Hôpital es una buena idea.. no voy a terminar este hasta la noche y es fácil hacer error.. tal vez ampliar cos en una serie? Pero no sé cómo usar este truco..

Answer 1

Usted podría probar y utilizar el hecho de que

$$ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$

Esto puede ser demostrado fácil, el uso de l'Hospital, o simplemente escribir $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$.

Con el fin de regresar a su problema, usted puede escribir su límite como

$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1-\cos x)}{(1-\cos x)^2}\cdot \frac{(1-\cos x)^2}{x^4} $$

y el uso de dos veces el límite descrito en el comienzo de la respuesta.

l'Hospital también funciona, pero probablemente tenga que diferenciar cuatro veces hasta conseguir el resultado.

Answer 2

Vamos a acercarse a ella elementarily:

$$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1- \cos x)}{x^4}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 (1- \cos x)}{x^4(1+\cos (1- \cos x))}=\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 (1- \cos x)}{2x^4}= $$ $$\lim_{x \to 0}\left( \frac{\sin (1- \cos x)}{(1-\cos x)}\right )^2 \cdot \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^{2} = \frac{1}{8}.$$

NOTA: para el límite anterior me fui a la auxiliar de límite: $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1}{2}.$$

La prueba está completa.

Answer 3

Usted puede ampliar cos en una serie, como usted dijo: $$1 - \cos\left(1 - \cos x\right) = 1 - \cos\left(1 - \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\right) $$

$$= 1 - \cos\left(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots\right) $$

$$= 1 - \left[1 - \frac{1}{2!}\left(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)^2 + \frac{1}{4!}\left(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)^4 \cdots \right]$$

$$= \frac{1}{2!}\left(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)^2 - \frac{1}{4!}\left(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \cdots\right)^4 $$

Ahora ya estamos tomando el límite cuando $x \to 0$ ese $x^4$, todos los términos de quinto grado o superior ir a $0$. Por lo que el límite es sólo $\frac{1}{x^4}\frac{1}{2!}\left(\frac{x^2}{2!}\right)^2 = \frac{1}{8}$.