Usted puede modelar este problema mediante la toma de $X_1,X_2,\dots $ $Y_1,Y_2,\dots$ ser independiente de variables binarias con una probabilidad de $\frac{1}{2}$. Deje $t_1$ $t_2$ ser el más pequeño de los valores de tales que $X_t,X_{t-1},\dots X_{t-9}$ $Y_t,T_{t-1},\dots, Y_{t-9}$ son todos unos.
Deje $A$ ser el caso de $t_1\geq t_2$ y deje $p(n)$ la probabilidad de que $t_1=n$ ( esta es la misma que la probabilidad de que $t_2=n$).
Tenemos que $P(A)=\sum\limits_{n=1}^\infty\sum\limits_{m=n}^\infty p(n)p(m)=\dfrac{(\sum\limits_{n=1}^\infty p(n))^2+\sum\limits_{n=1}^\infty p(n)^2}{2}=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{P(n)^2}{2}$.
¿Cómo podemos calcular el $p(n)$?
Tenemos $p(10)=2^{-10},P(11)=2^{-11}$ $n>11$ tenemos $p(n)=2^{-11}(1-Q(n-12))$ .
Esto nos permite aproximar $P(A)$ mediante el cálculo de suffiecently grandes valores de $p(n)$, se puede notar que la $\sum\limits_{n=N+1}^\infty P(n)^2\leq \sum\limits_{n=N+1}^\infty P(n)$. Podemos controlar esta última suma bastante bien, observe que la probabilidad de que al menos una racha aparece en la primera $N$ tiros es, al menos,$1-(1-2^{-10})^{\lfloor N/10 \rfloor}$. Para que podamos dar una buena precisión a nuestras aproximaciones.
Una aproximación con aproximadamente $100,000$ términos de los rendimientos de $0.500061$.
Que creo que tiene sentido, se espera que el número de lanzamientos es $2(2^9-1)=1022$, lo $p(n)$ no concentrarse realmente densamente alrededor de un conjunto determinado de valores. $2\%$ le parece muy alta para mí como la probabilidad de que $t_1=t_2$.
aquí es el código utilizado para la aproximación:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=10000010;
double P[MAX];
double Q[MAX];
int main(){
for(int n=10;n<MAX;n++){
if(n==10) P[n]=pow(0.5,11);
if(n==11) P[n]=pow(0.5,12);
if(n>11) P[n]=pow(0.5,12)*(1-Q[n-12]);
Q[n]=Q[n-1]+P[n];
}
double res=0;
for(int i=0;i<MAX;i++){
res=res+P[i]*P[i];
}
printf("%f\n",0.5+res/2);
}
