Hace la misma cardinalidad implica un bijection?

Question

Esto salió hoy en día cuando la gente demostró que no hay transformación lineal $\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$.

Sin embargo, sabemos que estos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Yo estaba bajo la impresión de que si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad entonces existe un bijection entre ellos. ¿Es esto cierto? O es sólo que cualquiera de los dos conjuntos que tienen un bijection entre ellos tienen la misma cardinalidad.

Edit: la pregunta que me vinculados a es preguntar específicamente acerca de una transformación lineal. Mi pregunta aún se mantiene.

Answer 1

"La misma cardinalidad" se define como lo que significa que hay un bijection.

En el espacio vectorial ejemplo, estaban exigiendo la bijection a ser lineal. Si hay un lineal bijection, la dimensión es la misma. Hay un bijection entre el$\mathbb R^4$$\mathbb R^3$, pero no hay tal bijection es lineal, o incluso continua. (Llena el espacio de las curvas, que son continuas las funciones de un espacio de dimensión inferior a un espacio de dimensión superior, no son bijections ya que son en ningún caso uno-a-uno). Si hay un bijection, entonces la cardinalidad es el mismo. Y a la inversa.

Answer 2

Me pregunté algo similar: Tenemos dos conjuntos de $A$ $B$ y tenemos dos inyecciones $f,g$ es decir $$ f:A\rightarrow B $$ y $$ g:B\rightarrow Un $$ es esto suficiente para concluir que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad? De hecho, he encontrado este teorema (de Cantor-Bernstein-Schröder) muy esclarecedor y la respuesta es, sí, es suficiente.

Si tenemos los dos inyecciones $f,g$ podemos encontrar un bijection $h$ entre ambos conjuntos que, por tanto, significa que tienen la misma cardinalidad.

Así que si usted encuentra dos inyecciones en el ejemplo, tienes tu respuesta. Por desgracia, es muy difícil encontrar una inyección de $\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$. El ejemplo dado a continuación no funciona.

[EDITAR como se señaló en los comentarios,$g$ no es en realidad una inyección, es sólo una inyección de $S^1\times S^1\to \mathbb{R}^3 $ consultar aquí, en la página 2 de abajo] $$ g:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3, g(x_1,x_2,x_3,x_4)=((x_1(2 + x_3),x_2(2 +x_3), x_4) $$ y $$ t:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4,t(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3,0) $$

Answer 3

El uso de la posición de expansión basado en la asignación propuesta por @StevenGubkin $$(0.a_1 a_2 a_3 \ldots,\, 0.b_1 b_2 b_3 \ldots) \mapsto (0.a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 \ldots)$$, con una muy fácil de solucionar:

1. no utilice expansiones con infinitamente repetida $9$ (si se utiliza el sistema decimal);
2. hacer interleave solo dígitos solo si no $9$, pero para los nueves tomar de forma consecutiva todos los nueves como un interleave unidad junto con los siguientes único no–$9$ dígitos.

Esto hace que la asignación de un bijection $\Bbb R^2 \supset [0,1)^2\leftrightarrow [0,1)\subset\Bbb R$. Extensión a todos los reales es bastante sencillo, por ejemplo,$\tan$$\arctan$.