Cómo encontrar esta desigualdad $\max{\left(\min{\left(|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|\right)}\right)}$

Question

deje $a,b,c,d,e\in R$,y tal $$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$$ encontrar este valor $$A=\max{\left(\min{\left(|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|\right)}\right)}$$

Yo uso la computadora tienen este $$A=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$$

entonces igual vale si suponemos que $a\leq b\leq c\leq d\leq e$,$$a=\frac{2}{\sqrt{10}},b=-\frac{1}{\sqrt{10}},c=\dfrac{1}{\sqrt{10}},d=-\frac{2}{\sqrt{10}},e=0$$

Pero considero que a veces, quiero que el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad para resolverlo, Supongo que tiene este siga?

$$(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|)^2\le(\dfrac{1}{10})(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)$$ entonces yo no puedo. Muchas gracias!

Answer 1

La situación descrita por el OP (situación (c) en la siguiente figura) es óptima. Esto puede ser visto de la siguiente manera:

Consideramos que el problema doble en su lugar: Cinco barras telescópicas de longitud $\geq1$ cada uno con bisagras juntos en los extremos, de modo que una flexible y extensible pentágono está formado. Este pentágono es extendido, y que se acoplan a una "estructura lineal" $S$, es decir, que los cinco bisagras están en línea. Esta estructura se coloca a lo largo de la $x$-eje. Vamos $a_i$ $\>(1\leq i\leq 5)$ ser la resultante de las posiciones de los cinco bisagras. Nuestro objetivo es minimizar la cantidad de $$\Phi:=\sum_{i=1}^5a_i^2\ .$$ Un primer paso en esta dirección es traducir $S$ a lo largo de la $x$-eje tal que el centro de gravedad de las bisagras, está en el origen. El resultado $\Phi$-valor se denota por a $\Phi'(S)$ y puede ser considerado como el momento de inercia total de los cinco bisagras con respecto a su centroide $c=0$.

La "estructura lineal" $S$ $2$ o $4$ de retorno de las bisagras y el resto $180^\circ$-bisagras. Cuando hay $2$ de retorno de bisagras que se puede tener el $1$ o $2$ barras entre ellos. Estas son las configuraciones (a) y (b) en la siguiente figura. Cuando hay $4$ de retorno de bisagras no es sólo una $180^\circ$-bisagra, ver (c) en la figura.

Las barras rojas son críticos, tenemos que garantizar que su longitud es $\geq1$, mientras que las barras de color negro de forma automática tiene una longitud de $>1$. Las configuraciones (a)–(c) con todas las barras rojas de longitud 1, es posible y admisible. Por otro lado, nuestra intuición nos dice que hacer cualquiera de estas barras rojas más de $1$ va a aumentar el momento de inercia de la $\Phi'(S)$ de la configuración. En los casos (b) y (c) algunos interno "cambio" es posible, pero sabemos por experiencia que la simétrica situación de menor momento de inercia. (Voy a tratar el caso (c) de forma explícita, en el final). De ello se desprende que el óptimo posiciones en los tres casos se dan por $${\rm (a)}\qquad a_1=-2,\quad a_2=-1, \quad a_3=0, \quad a_4=1,\quad a_5=2,\qquad \Phi'=10\ ;$$ $${\rm (b)}\qquad a_1=-{3\over2},\quad a_2=-{1\over2}, \quad a_3={1\over2}, \quad a_4={3\over2},\quad a_5=0,\qquad \Phi'=5\ ;$$ $${\rm (c)}\qquad a_1=-1,\quad a_2=0, \quad a_3=1, \quad a_4=-{1\over2},\quad a_5={1\over2},\qquad \Phi'={5\over2}\ .$$ De esto podemos concluir que el mínimo global de $\Phi$, resp. $\Phi'$, es asumido en la situación (c).

Volviendo al problema original por lo tanto, se puede decir lo siguiente: Cuando $\Phi=1$ se prescribe a continuación, al menos una de las barras deben tener una longitud de $$d\leq\sqrt{2\over 5}\ .$$ Actualización: había algunos handwaving arriba. En el siguiente voy a tratar el caso (c) en detalle, los otros casos son más simples.

Cuando las longitudes $d_1$, $d_2$, $d_3$ de las tres barras rojas se dan a continuación, para el adecuado $u$, $v$ uno tiene $$a_1=v-{2d_1+d_2\over3}, \quad a_2=v+{d_1-d_2\over 3},\quad a_3=v+{d_1+2d_2\over3},$$ $$ a_4=u-{d_3\over2},\quad a_5=u+{d_3\over2}\ .$$ A partir de esto se calcula $$\Phi=3v^2+{2\over3}(d_1^2+d_1d_2+d_2^2)+2u^2+{1\over2}d_3^2\ .$$ De ello se deduce que para un determinado $d_i$ $\>(1\leq i\leq 3)$ uno puede alcanzar $$\Phi_{\min}={2\over3}(d_1^2+d_1d_2+d_2^2)+{1\over2}d_3^2\ ,$$ que es un aumento de la función de la $d_i$, como se afirma en el texto principal.

Answer 2

El quid de la cuestión, la respuesta es que con cada pequeño pero ciertos paso el problema se simplifica un poco, con la esperanza de que al final juntos, todos estos pasos se llevan a la plena comprensión.
Descargo de responsabilidad: yo creo que la prueba aún no está completado por tomar juntos todos los pasos.

Paso 1.Todo el problema es invariante para cíclico de las permutaciones. Por lo tanto, de hecho, no se puede suponer sin pérdida de generalidad que $a \le b \le c \le d \le e$, pero se puede suponer sin pérdida de generalidad que $a$ es el número más pequeño y, a continuación, investigar el resto de las permutaciones, dando el siguiente la lista de posibilidades.

|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|
a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e 1 1 1 1 4
a ≤ b ≤ c ≤ e ≤ d 1 1 2 1 3
a ≤ b ≤ d ≤ c ≤ e 1 2 1 2 4
a ≤ b ≤ d ≤ e ≤ c 1 3 2 1 3
a ≤ b ≤ e ≤ c ≤ d 1 2 1 2 2
a ≤ b ≤ e ≤ d ≤ c 1 3 1 1 2
a ≤ c ≤ b ≤ d ≤ e 2 1 2 1 4
a ≤ c ≤ b ≤ e ≤ d 2 1 3 1 3
a ≤ c ≤ d ≤ b ≤ e 3 2 1 2 4
a ≤ c ≤ d ≤ e ≤ b 4 3 1 1 3
a ≤ c ≤ e ≤ b ≤ d 3 2 3 2 2 !(1)
a ≤ c ≤ e ≤ d ≤ b 4 3 2 1 2
un ≤ d ≤ b ≤ c ≤ e 2 1 2 3 4
un ≤ d ≤ b ≤ e ≤ c 2 2 3 2 3 !(2)
un ≤ d ≤ c ≤ b ≤ e 3 1 1 3 4
un ≤ d ≤ c ≤ e ≤ b 4 2 1 2 3
un ≤ d ≤ e ≤ b ≤ c 3 1 3 1 2
un ≤ d ≤ e ≤ c ≤ b 4 1 2 1 2
un ≤ e ≤ b ≤ c ≤ d 2 1 1 3 1
un ≤ e ≤ b ≤ d ≤ c 2 2 1 2 1
un ≤ e ≤ c ≤ b ≤ d 3 1 2 3 1
un ≤ e ≤ c ≤ d ≤ b 4 2 1 2 1
un ≤ e ≤ d ≤ b ≤ c 3 1 2 1 1
un ≤ e ≤ d ≤ c ≤ b 4 1 1 1 1

Los números de la derecha no son tanto los tamaños de los intervalos, pero indican cuántos intervalos ( delimitada por $a,b,c,d,e$ ) se encuentran entre los ( si usted entiende lo que quiero decir ) . Los dos órdenes marcadas con un signo de exclamación signo (!) son los más prometedores, porque los intervalos para ser minimizado cada contener al menos otros dos intervalos, que, por así decirlo, hace que sea más difícil para minimizarlos. El último es deseable porque lo que buscamos en el extremo es un máximo.
También tenga en cuenta que el problema es invariante para la reversión de la realización del pedido. Por ejemplo, $a \le b \le c \le d \le e$ es lo mismo que $a \ge b \ge c \ge d \ge e$ . Así vemos por ejemplo, que el orden asumido en la pregunta es la indicada como (1). No hay más. Si el orden de (2) se invierte, a continuación, obtenemos: $c \le e \le b \le d \le a$ . Una permutación cíclica, a continuación, da: $a \le c \le e \le b \le d$ . Que es exactamente el caso (1) de nuevo. Llegamos a la conclusión de que (1) es el único caso que hemos de investigar, en el final. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad: $$ a \le c \le e \le b \le d $$ Ahora echa un vistazo a la función mín-máx de nuevo. Los argumentos que no tienen oportunidad de ser mínimo, puede ser eliminado. También se nota la desaparición de la valores absolutos: $$ A=\max{\left(\min{\left(|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-e|,|e-a|\right)}\right)} \qquad \Longleftrightarrow \qquad A=\max{\left(\min{\left(b-c,d-e,e-a\right)}\right)} $$

Paso 2. Más información acerca de la magnitud de los números que se pueden obtener de la siguiente manera. Vamos a los números de ser disminuida con una cantidad $\mu$ : $$ W(\mu) = (a-\mu)^2 + (b-\mu)^2 + (c-\mu)^2 + (d-\mu)^2 + (e-\mu)^2 $$ Es deseable que el $W$ es mínima, como una función de $\mu$ debido a que da el menos posible restricción en $(a,b,c,d,e)$ al $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 1$ . La diferenciación se da, no para nuestra sorpresa, que el mínimo de $W(\mu)$ se obtiene por: $$ \frac{1}{2} \frac{d W}{d \mu} = a + b + c + d + e - 5 \mu = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \mu = \frac{a + b + c + d + e}{5} \qquad \Longrightarrow \qquad W(\mu) = a^2+b^2+c^2+d^2+b^2 - 5 \mu^2 $$ Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos - y debemos - elegir a nuestros números $\; (a,b,c,d,e)$ , de tal manera que $a + b + c + d + e = 0$ . Todas las opciones en el pregunta y las preguntas y comentarios de cumplir con esta condición, ya sea por coincidencia o no ( creo que no ).

Paso 3. De acuerdo a lo anterior, la función mín-máx ahora se puede dividir en tres partes: $$ (d-e \ge e-a \ge b-c) \vee (e-a \ge d-e \ge b-c) \quad \Longrightarrow \quad A = \max{(b-c)} \\ (d-e \ge b-c \ge e-a) \vee (b-c \ge d-e \ge e-a) \quad \Longrightarrow \quad A = \max{(e-a)} \\ (e-a \ge b-c \ge d-e) \vee (b-c \ge e-a \ge d-e) \quad \Longrightarrow \quad A = \max{(d-e)} $$ Se sugiere aquí que debemos investigar de todos modos el caso especial, donde ninguno de los intervalos es el más pequeño: $$ e-a = d-e = b-c $$ Porque sólo las diferencias de los números de $\; (a,b,c,d,e) \;$ son considerados en la mín-máx función, todavía hay un grado de libertad en nuestro problema, que es la elección del origen. Por lo tanto vamos a asumir en la secuela que $\; e = 0$ .
Tan lejos como el caso especial de que se considere que estamos casi allí: $$ -a = d = b-c \quad \Longrightarrow \quad a+b+c+d+e = b+c = 0 \quad \Longrightarrow \\ c = -b \quad ; \quad d = 2 b \quad ; \quad a = - 2 b $$ Dar: $$ a^2+b^2+c^2+d^2+b^2 = 2(2b)^2 + 2b^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad b = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \Longrightarrow \quad (a,b,c,d,e) = \frac{1}{\sqrt{10}} (-2,+1,-1,+2,0) \quad \Longrightarrow \quad A = \frac{2}{\sqrt{10}} $$ Que es exactamente la solución que se da en la pregunta.

Pero, ¿por qué el caso especial de dar la solución?

Paso 4. Vamos a intentar hacer una pequeña modificación del caso especial, de la siguiente manera. $$ a = -d = \lambda (b-c) \quad \Longrightarrow \quad c = -b \quad ; \quad d = 2 b \lambda \quad ; \quad a = - 2 b \lambda $$ Dar: $$ a^2+b^2+c^2+d^2+b^2 = 2(2b \lambda)^2 + 2 b^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad b = \frac{1}{\sqrt{8\lambda^2+2}} $$ Si suponemos que $\; 0 < \lambda < 1$ : $$ Un(\lambda) = \lambda (b-c) = \frac{2\lambda}{\sqrt{8\lambda^2+2}} $$ Se sigue con elemental de álgebra que $\; A(\lambda) < 2/\sqrt{10}$ .
Ahora supongamos que $\; \lambda > 1$ , entonces: $$ Un(\lambda) = (b-c) = \frac{2}{\sqrt{8\lambda^2+2}} $$ Se sigue con álgebra básica de la que, de nuevo, $\; A(\lambda) < 2/\sqrt{10}$ .

Paso 5. Caso asimétrica.
Vamos $a = -2 k$ , $c = -k$ , $e = 0$ , $b = \lambda k$ . Entonces: $$a+b+c+d+e=0 \quad \Longrightarrow \quad d = (3-\lambda) k$$ $$a^2+b^2+c^2+d^2+b^2=1 \quad \Longrightarrow \quad k=\frac{1}{\sqrt{2\lambda^2-6\lambda+14}}$$ Dos de los casos se distinguen: $$ \lambda < 1 \quad \Longrightarrow \quad Un(\lambda) = \max{(b-c)} = \frac{1+\lambda}{\sqrt{2\lambda^2-6\lambda+14}}$$ $$ \lambda > 1 \quad \Longrightarrow \quad Un(\lambda) = \max{(d-e)} = \frac{3-\lambda}{\sqrt{2\lambda^2-6\lambda+14}}$$ Debemos demostrar que en ambos casos $A(\lambda) < 2/\sqrt{10}$ .
Primer caso $\lambda < 1$ : $$ \frac{1+\lambda}{\sqrt{2\lambda^2-6\lambda+14}} < \frac{2}{\sqrt{10}} \quad \Longleftrightarrow \quad 10 (\lambda+1)^2 - 4 (2\lambda^2-6\lambda+14) < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2 \lambda^2 + 44 \lambda - 46 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda+11)^2-144 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -23 < \lambda < 1 $$ Esto es así dentro de la gama de $\; 0 < \lambda < 1 \;$ por lo tanto $\; A(\lambda) < 2/\sqrt{10}$ .
Segundo caso $\lambda > 1$ : $$ \frac{3-\lambda}{\sqrt{2\lambda^2-6\lambda+14}} < \frac{2}{\sqrt{10}} \quad \Longleftrightarrow \quad 10 (\lambda-3)^2 - 4 (2\lambda^2-6\lambda+14) < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2 \lambda^2 - 36 \lambda + 34 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda-9)^2-64 < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 < \lambda < 17 $$ Esto es así dentro de la gama de $\; 1 < \lambda < 3 \;$ por lo tanto $\; A(\lambda) < 2/\sqrt{10}$ .

Paso 6. Debería haber leído la cuestión más detenidamente en el primer lugar: una buena sugerencia es no.
Debido a $\; A = \max{(\min{(e-a,d-e,b-c)})} \;$ $\;a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1\;$ $\;e=0\;$ es claro que: $$ Un \le \sqrt{\frac{(e-a)^2+(d-e)^2+(b-c)^2}{3}} = \sqrt{\frac{1-2\,b\,c}{3}} $$ Donde la igualdad es válida sólo para el caso especial en que $\; e-a=d-e=b-c $ . Así, en todos los demás casos, la desigualdad es estricta: $$ \neg \; (\; e-a=d-e=b-c \; ) \quad \Longrightarrow \quad Un < \sqrt{\frac{(e-a)^2+(d-e)^2+(b-c)^2}{3}} $$ Dependiendo únicamente de la $\;b\;$$\;c\;$. Esto demuestra que nuestro caso especial es el óptimo y que $\; A = 2/\sqrt{10} \;$, a condición de que un extraño se cumpla la condición además de la desigualdad estricta: $$ b\,c = - \frac{1}{10} $$

Paso 7. Dar para arriba. Porque todas mis pasos hacia la plena comprensión son claramente dominada por la respuesta con Cristiano Blatter como el autor. En caso de que usted no se dio cuenta, cacahuetes ahora para completar la prueba. Para darle Cristiana una empresa upvote, como yo lo hice!

Answer 3

Usted no puede suponer (sin pérdida de generalidad) que $a\le b\le c\le d\le e$, debido a la cantidad de que está maximizando no es totalmente simétrica en las cinco variables. Por ejemplo, tomando $a=c=-\frac12$, $b=d=\frac12$, y $e=0$ muestra que $A\ge\frac12$.

Answer 4

Este es un comentario que es demasiado largo para caber en el formato habitual. Puedo demostrar a continuación la no-óptimo enlazado $A\leq \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} \approx 0.8$. Deje que nos indican

$$ x_1=x_6=a, x_2=b, x_3=c, x_4=d, x_5=e $$

Entonces, tenemos

$$ \big(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\big) \bigg(\sum_{k=1}^5 x_k^2\bigg)- \bigg(\sum_{k=1}^5 (x_k-x_{k+1})^2\bigg)= \big(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\grande) \bigg(x_5+\frac{(\sqrt{5}-1)(x_1+x_4)}{2}\bigg)^2+ \bigg(x_3+x_4-\frac{(\sqrt{5}-1)x_1}{2}\bigg)^2+ \big(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\big) \bigg(x_1+x_3+\frac{(\sqrt{5}+1)de x_2}{2}\bigg)^2 $$

Podemos deducir que

$$ \big(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\big) \bigg(\sum_{k=1}^5 x_k^2\bigg) \geq \bigg(\sum_{k=1}^5 (x_k-x_{k+1})^2\bigg) $$

Así que si ponemos $\varepsilon={\sf min}(|x_{k+1}-x_k|)$, tenemos

$$ \frac{5+\sqrt{5}}{2} \geq \sum_{k=1}^5 (x_k-x_{k+1})^2 \geq 5\varepsilon^2 $$

y por lo tanto

$$ \varepsilon \leq \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} $$