quisiera prueba del Teorema 4-10, de Spivak del Cálculo de los Colectores

Question

Me gustaría entender una forma de demostrar la parte 2 de este teorema.

2) Si $\omega$ $k$y $\eta$ $l$- formulario, a continuación,$d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta$.

Veo que esto es cierto cuando se $k=0$, y también al$\omega=dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}$$\eta=dx^{j_1}\wedge\dots\wedge dx^{j_l}$. Sin embargo no he sido capaz de derivar la fórmula en general. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Acaba de hacerlo de forma explícita para $\omega = f dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}$$\eta = g dx^{j_1}\wedge\dots\wedge dx^{j_\ell}$. (Es sólo el producto habitual de la regla de funciones.) A continuación, el resultado general de la siguiente manera mediante la distribución de $d$ y la cuña en relación con las sumas.

Answer 2

Sugerencia: Demostrar esto a través de la inducción en $k + \ell$. Usted querrá usar el hecho de que cualquier $k$-formulario puede ser escrita como una suma $\alpha_1\wedge \mu_1 + \cdots +\alpha_s \wedge \mu_s$ donde $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ $1$- formas y $\mu_1,\ldots,\mu_s$ $(k-1)$- formas.