La probabilidad de cálculo que suponga el pedido de estadísticas

Question

Vamos $X_1$, $X_2$.. $X_n$ ser iid uniforme de variables aleatorias es decir $X_i \sim U(0,1)$. Sabemos que el orden de las estadísticas, $X_{(i)}$ es la beta distribuidas $X_{(k)} \sim B(k,n+1-k)$.

También vamos a $Y_1$, $Y_2$.. $Y_n$ ser de otro conjunto de uniforme de variables aleatorias es decir $Y_i \sim U(0,1)$. Las estadísticas de orden de $Y_{(i)}$ también están beta distribuidas $Y_{(k)} \sim B(k,n+1-k)$.

Estoy interesado en la búsqueda de la siguiente probabilidad,

$\Pr(X_{(1)} < Y_{(2)}, X_{(2)} < Y_{(3)})= ?$

El problema aquí es que los eventos de $E_1 \equiv \{X_{(1)} < Y_{(2)}\}$ $E_2 \equiv \{X_{(2)} < Y_{(3)}\}$ etc no son independientes, y soy incapaz de encontrar maneras de hacerlos independientes, así como a hacer uso de la conocida densidades marginales.

¿Hay alguna forma más sencilla de resolver este problema? Los punteros a una solución son bienvenidos.

Answer 1

Una solución es utilizar la distribución conjunta de dos de estadísticas de orden: $$f_{X_{1:n}, X_{2:n}}\left(x_1, x_2\right) = n(n-1) \left(1-x_2\right)^{n-2} \left[ 0 < x_1 < x_2 <1\right]$$ $$f_{Y_{2:n}, Y_{3:n}}\left(y_2, y_3\right) = n(n-1)(n-2) y_2 \left(1-y_3\right)^{n-3} \left[ 0 < y_2 < y_3 <1\right]$$ Para evaluar la probabilidad de uso $$\begin{eqnarray} \Pr\left(X_{1:n}\lt Y_{2:n},X_{2:n}\lt Y_{3:n}\right) &=& \mathbb{E}\left( \Pr\left(X_{1:n}\lt Y_{2:n},X_{2:n}\lt Y_{3:n} \mid Y_{2:n},Y_{3:n}\right) \right) \\ &=& \mathbb{E}\left( F_{X_{1:n},X_{2:n}}\left(Y_{2:n},Y_{3:n}\right)\right) \end{eqnarray}$$ La probabilidad de $F_{X_{1:n},X_{2:n}}(y_2,y_3)$ se calcula de la siguiente manera, suponiendo $0<y_2<y_3<1$ $$\begin{eqnarray} F_{X_{1:n},X_{2:n}}(y_2,y_3) &=& n(n-1) \int_0^{y_3} \mathrm{d}x_2 \int_{0}^{\min(y_2,x_1)} \mathrm{d}x_1 \cdot \left(1-x_2\right)^{n-2} \\&=& 1 - \left(1-y_2\right)^{n} - n y_2 \left(1-y_3\right)^{n-1} \end{eqnarray}$$ Ahora $$\begin{eqnarray} \Pr\left(X_{1:n}\lt Y_{2:n},X_{2:n}\lt Y_{3:n}\right) &=& 1 - \mathbb{E}\left( \left(1-Y_{2:n}\right)^{n} \right) - n \mathbb{E}\left( Y_{2:n} \left(1-Y_{3:n}\right)^{n-1}\right) \\ &=& 1 - \mathbb{E}\left( Y_{n-1:n}^{n} \right) - n \mathbb{E}\left( Y_{2:n} \left(1-Y_{3:n}\right)^{n-1}\right) \end{eqnarray}$$ La última integral es fácil evaluar: $$\begin{eqnarray} n \mathbb{E}\left( Y_{2:n} \left(1-Y_{3:n}\right)^{n-1}\right) &=& \int_0^{1} \mathrm{d}y_3 \int_0^{y_3} \mathrm{d} y_2 \cdot n^2(n-1)(n-2) y_2^2 (1-y_3)^{2n-4} \\ &=& \frac{n^2 (n-1)(n-2)}{ \frac{1}{2} (2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)} \int_0^{1} \mathrm{d}y_3 \int_0^{y_3} f_{Z_{3:2n},Z_{4:2n}}\left(y_2,y_3\right) \\ &=& \frac{n(n-2)}{2 (2n-1)(2n-3)} \end{eqnarray}$$ El resto de la integral se evalúa el uso de simples estadísticas de la función de densidad: $$\mathbb{E}\left( Y_{n-1:n}^{n} \right) = \int_0^1 x^n \cdot n(n-1) x^{n-2} (1-x) \mathrm{d} x = \frac{n(n-1)}{2n(2n-1)} \int_0^1 f_{Y_{2n-1:2n}}(x) \mathrm{d}x = \frac{n-1}{2(2n-1)}$$ Así $$\Pr\left(X_{1:n}\lt Y_{2:n},X_{2:n}\lt Y_{3:n}\right) = 1-\frac{n-1}{2(2n-1)}-\frac{n(n-2)}{2 (2n-1)(2n-3)}=\frac{(5n-4)(n-1)-1}{2(2n-1)(2n-3)}$$