demostrar que $\dfrac{\left( 5^{125}-1\right)}{\left( 5^{25}-1\right)}$ es número compuesto

Question

Demostrar que $\dfrac {\left( 5^{125}-1\right)}{\left( 5^{25}-1\right)}$ es número compuesto utilizando la teoría de números. No utilice la calculadora o Wolfram alpha o algo por el estilo.

Answer 1

Sugerencia $\ $ El de la factorización de la que surge por la aplicación de una variación de cyclotomic de la factorización de la conocida como Aurifeuillian de factorización. Para el ejemplo a la mano, podemos emplear la siguiente

$$\begin{align}\frac{(5x^2)^5-1}{5x^2-1} =\, (25x^4\!+15x^2+1)^2 - (5x(5x^2\!+1))^2\\[4pt] \overset{\large x\, =\, 5^{\large 12}}\Longrightarrow\ \ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}\, =\, (5^{50}+3\cdot 5^{25}+1)^2 - (5^{13}(5^{25}+1))^2\end{align}$$

Comentario $\ $ se conocen muchos Aurifeuillian factorizations (por ejemplo, ver más abajo para algunos más). Para más información, véase esta respuesta y ver Aurifeuillian Factorización por A. Granville y P. Pleasants.

$$\begin{align} \frac{(3x^2)^3+1}{3x^2+1} &=\, (3x^2\!+1)^2-(3x)^2\\[4pt] \frac{(5x^2)^5-1}{5x^2-1} &=\, (25x^4\!+15x^2+1)^2 - (5x)^2(5x^2\!+1)^2\\[4pt] \frac{(7x^2)^7+1}{7x^2+1} &=\, (7x^2\!+1)^6-(7x)^2(49 x^4\!+7x^2+1)^2 \end{align}$$

Answer 2

Este es el problema $87$ de Putnam y más Allá. Aquí está la solución:

$\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=1+a+a^2+a^3+a^4$ donde $a=5^{25}$.

Tenemos $1+a+a^2+a^3+a^4+a^5=(a^2+3a+1)^2-(5^{13}(a+1))^2=(a^2+3a+1+5^{13}(a+1))(a^2+3a+1-5^{13}(a+1))$

La razón de que el segundo factor es mayor que $1$ $a^2=5^{50}>5^{39}>5^{13}(a+1)$

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Este problema también fue parte de la de 1992, de la omi lista y fue propuesto por Corea, aquí hay un enlace con la misma solución, pero más corto: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/short/soln/sh9216.html

Answer 3

SUGERENCIA:

$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

y $5^{25}=(5^5)^5$, mientras que el $5^{125}=((5^5)^5)^5$

¿Esta usted en cualquier lugar?