simular un proceso aleatorio justo con uno injusto.

Question

Digamos que tengo un proceso estocástico que produce $1$ o $0$ con probabilidad $p$ o $1-p$ respectivamente, $p\neq 1/2$ . Supongamos que se trata de un proceso iid repetible. Así que puedo generar $X_1,X_2\dots$ que son cada uno $1$ o $0$ como en el caso anterior. ¿Puedo crear una proposición (una construcción lógica a partir del $X_i$ s) con probabilidad media. Es decir, ¿puedo simular un proceso justo con este proceso injusto?

Si $p=1$ o $p=0$ entonces obviamente no. Pero (sin pérdida de generalidad supongamos $1>p>1/2>1-p>0$ . ¿Siempre hay alguna propuesta de este tipo? Puedo acercarme arbitrariamente, seguro. Piensa en el conjunto de cadenas binarias de longitud $n$ (puedes pensar que mi proceso estocástico genera estas secuencias con ciertas probabilidades). Para un tamaño suficientemente grande $n$ incluso el más probable de ellos es menos de la mitad, y eligiendo los correctos para ir en mi "propuesta" puedo conseguir lo más cercano a $1/2$ como quiera, siempre que pueda aumentar $n$ todo lo que quiera.

Para algunos valores de $p$ puedes llegar exactamente a $1/2$ . Por ejemplo, tome $p(2-p)=1/2$ y resolver para $p$ . Para este valor, $X_1 \lor X_2$ tiene una probabilidad exacta $1/2$ . ¿Es siempre posible encontrar una proposición que tenga exactamente la probabilidad media? ¿O existe una caracterización de los valores de $p$ ¿para qué puedes hacer esto?

(No estaba del todo seguro de qué etiquetas eran apropiadas)

Answer 1

Tomemos una moneda que tiene una probabilidad de salir cara $p$ y las colas son $1-p$ . Ahora, lanza la moneda dos veces.

Si obtienes dos caras o dos colas, descarta el resultado y vuelve a tirar. Si obtienes cara y luego cola, esto sucede con probabilidad $p(1-p)$ . También lo hace la cola y luego la cabeza. Pero como se descartan los resultados con dos caras y dos colas, la probabilidad a posteriori de cabeza y cola (o cola y cabeza) es $1/2$ .

Answer 2

Si $p$ es un racional con denominador $b$ En cualquier caso, en función de $X_1, \ldots, X_n$ tiene una probabilidad de la forma $k/b^n$ para algún número entero $k$ . en particular, si $b$ es impar no se puede obtener exactamente $1/2$ de un número finito de ensayos. Si $p$ es trascendental, no se puede obtener ninguna probabilidad racional que no sea $0$ y $1$ .

Si está dispuesto a permitir una proposición que puede tomar arbitrariamente muchos juicios para decidir, siempre puede obtener exactamente $1/2$ .

Answer 3

Sí, y la idea de hacer cosas con una distribución de destino dado sólo el acceso a una distribución diferente está relacionada con conceptos como muestreo de rechazo y muestreo de importancia .