Propiedad de un holomorphic función en una bola de

Question

Deje $B$ ser la unidad de disco abierto en $\mathbb{C}$ $f:B\rightarrow \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de la satisfacción de $|f'(z)-f'(0)|<|f'(0)|$$B$.

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $f$ es inyectiva?

Por el teorema de Rouché, $f'$ nunca es cero en $B$. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

$\lvert f'(z) - f'(0)\rvert < \lvert f'(0)\rvert$ significa que $f'(z)$ se encuentra en el disco abierto con el radio de $\lvert f'(0)\rvert$ y el centro de la $f'(0)$. Este disco está contenida en una abierta semi-plano, por lo tanto, hay un $\alpha \in \mathbb{C}$ $\lvert\alpha\rvert = 1$ tal que

$$\operatorname{Re} \bigl(\alpha\cdot f'(z)\bigr) > 0$$

para todos los $z \in B$. De ello se sigue que

$$\operatorname{Re} \alpha\int_0^1 f'(z + t(w-z))\,dt > 0$$

para todos los $z,w \in B$. En particular, la integral no se desvanecen, y por lo tanto tampoco

$$f(w) - f(z) = (w-z) \int_0^1 f'(z + t(w-z))\,dt$$

a menos $w = z$.

Answer 2

Expresan $$ f(z)=f(0)+f'(0)z+g(z) $$ con $g$ holomorphic en $B$,,$z\ne w$, e $z,w\in B$, $$ f(z)-f(w)=(z-w)\,f'(0)+\int_w^z g'(\zeta)\,d\zeta. $$ Con el fin de mostrar que el $f$ es inyectiva, es suficiente para mostrar que $f(z)=f(w)$ si y sólo si $z=w$, y por lo tanto el de arriba se desvanece sólo para $z=w$, que a su vez es equivalente a $$ f'(0)+\frac{1}{z-w}\int_w^z g'(\zeta)\,d\zeta\ne 0. $$ Sabemos que $\,f'(z)=f'(0)+g'(z)$, y por lo tanto $$ \lvert\,f'(0)\rvert>\lvert\,f'(z)-f'(0)\rvert=|g'(z)|. $$ Por lo tanto $$ \left|\frac{1}{z-w}\int_w^z g'(\zeta)\,d\zeta\,\right|\le \max_{\zeta\in[z,w]}|g'(\zeta)|<|\,f'(0)|. $$

Nota. Observar que esta prueba de trabajo en el caso, aun cuando la $\,f:U\to\mathbb R^n$ $C^1$ asignación y $U\subset\mathbb R^n$ es un convexo de vecindad del origen. De hecho, la satisfacción de la condición de $\,\|\,f'(0)-f'(x)\|<\|\,f'(0)\|,\,$ garantiza la existencia de una suave inversa.