Los cinco puntos en un disco

Question

¿Por qué es $$ \min_{1\le i,j,k\le5}\frac{\mbox{Área de}\left(\triángulo P_{i}P_{j}P_{k}\right)}{\mbox{Perímetro}\left(\triángulo P_{i}P_{j}P_{k}\right)}<\frac{4}{25} $$ for any five points $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$, $P_{4}$ and $P_{5}$ en la unidad de disco? Gracias de antemano por las respuestas útiles!

Answer 1

Puesto que el área es cuadrática en la longitud y el perímetro es lineal, desea un gran triángulo como sea posible. Los puntos naturales son un pentágono regular en el círculo, por lo $P_n=\exp (i\frac {2n \pi}5)$. Tengo que encontrar la razón acerca de la $0.15$ para el triángulo con dos lados del pentágono y $0.21$ para el triángulo con dos diagonales. Parece poco probable que usted puede hacer mejor, pero no tengo una sencilla prueba.