La solución de $ a(n+1) = a(n) + \frac{1}{a(n)}$ $a(1) = 1 $

Question

$ a(n+1) = a(n) + \frac {1}{a(n)}, a(1) = 1 $

¿Cuál es la función que genera todos los valores de $a(n)$?

Tras la primera inspección, esta función parece estar en algún lugar entre una potencia fraccionaria de $k$ y una función logarítmica de la $k$. Mi razón para sospechar que los logaritmos es que la recurrencia de la relación es armónica. Sin embargo, esto es sólo una contemplación, y mi otro sospechoso posibilidad es la de una Serie de Taylor de algún tipo.

Edit: de Echo me ha proporcionado un enlace a OEIS, así que ahora voy a revelar el problema que genera esta curiosidad de la mina.

Dado $ a(n+1) = a(n) + \frac {1}{a(n)}, a(1) = 1 $

Demostrar $ a(100)>14 $

Answer 1

Supongo que esta idea es útil:

Sabemos que $\sqrt {x+1} \simeq \sqrt {x} + \frac {1}{2 \sqrt {x}}$ y ahora si, nos pusimos $f(x)= \sqrt{2x}$ luego de un gran $x$ tenemos: $f(x+1) \simeq f(x)+\frac{1}{f(x)}$

Por ejemplo: $a(100)=14.284...$ $f(100)=\sqrt{200}=14.142...$
Y no es difícil mostrar $\mid a(n)-f(n)\mid<1 \quad \forall n \in \mathbb N$ $n>2$ tenemos: $a(n)>f(n)$ (debido a $\sqrt {x} + \frac {1}{2 \sqrt {x}}> \sqrt {x+1})$

Answer 2

Yo no creo que se pueda encontrar una fórmula explícita para su relación de recurrencia. Pero no es una solución fácil para usted problema.

Considerar la secuencia de $b_n = a_n^2$. A continuación, se observa que el $b_{n+1} = b_n + \frac{1}{b_n}+2>b_n+2$. Por lo $b_n > 2n-1$ todos los $n$. En particular, $$b_{100} > 199 > 196 = 14^2$$