Considere la posibilidad de un subgrupo normal $N$ de un grupo finito $G$.
¿Cómo son las clases conjugacy de $G$ relacionado a $G/N$$N$?
Respuestas
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Deje $k(G)$ denotar el número de clases conjugacy de $G.$ se sabe que la desigualdad de $k(G) \leq k(N)k(G/N)$ mantiene. Esto fue demostrado ( asumo de forma independiente), P. X. Gallagher y H. Nagao. La igualdad puede mantener bajo algunas circunstancias, incluso cuando $N$ no es un factor directo de $G,$, pero las condiciones precisas para la igualdad son un poco más elaborados.
Jonik
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Geoff Robinson dio el gran límite superior, por lo que pensé que me gustaría mencionar un par de cosas obvias, en los límites inferiores que pasan a ser fuerte.
Proposición: Si G es un grupo finito con un subgrupo normal N, a continuación, $k(G) \geq k(G/N)$ con igualdad de iff $N=1$. En otras palabras, un grupo finito tiene más clases conjugacy de su propio cociente de grupos.
Prueba: Si x y y son conjugado en G, dicen por g, entonces xN y yN son conjugado en $G/N$, por ejemplo, gN. Por lo tanto el mapa de tomar $x^G$ $xN^{G/N}$está bien definido y, obviamente, surjective de las clases conjugacy de G para las clases conjugacy de $G/N$. Si $x \in N \setminus 1$, $x^G \mapsto 1N^{G/N}$ pero $x^G \neq 1^G$, entonces obtenemos la desigualdad estricta si N es trivial.
La proposición: Hay una familia de grupos finitos $G_n$ con normal subgrupos $N_n$ tal que $k(G_n) = o(k(N_n))$. En otras palabras, un grupo finito puede tener radicalmente menos clases conjugacy de uno de sus subgrupos.
Prueba: La idea del curso es llevar a $N$ elemental abelian, y $G/N$ a ser una bastante gorda grupo de automorfismos con pocas clases conjugacy. Uno puede tomar la $G_n$ a ser el hyperoctahedral grupo (el grupo de los invertible $n\times n$ matrices con sólo uno distinto de cero de la entrada en cada fila y columna, y que distinto de cero de la entrada debe ser $\pm1$). El subgrupo normal es que el grupo $N_n$ de la diagonal de las matrices. $k(G_n)$ es OEIS:A000712 y $$k(G_n) \sim \tfrac{\sqrt[4]{3}}{12}n^{(-5/4)} \exp\left(\tfrac{2 \pi}{\sqrt{3}} \sqrt{n}\right) \quad \ll\quad k(N_n) = 2^n$$ Para lo que vale, otra secuencia es $G_n=\operatorname{A\Gamma L}(1,2^n)$ $k(G_n)$ dado por OEIS:A178752.
La primera proposición es nítida: Considerar la Sylow p-normalizador G en el grupo simétrico de p puntos, y N su Sylow p-subgrupo. Entonces $k(G) = p$, $k(G/N)=p-1$, $k(N) = p$, entonces G tiene solamente alrededor de la raíz cuadrada como muchas clases conjugacy como el producto $G/N \times N$, y en el hecho de $k(G) = k(G/N) + 1$ es el menor entero estrictamente mayor que $k(G/N)$.
Obviamente no hay límite para $k(G)$ en términos de sólo $k(G/N)$ o sólo $k(N)$ como en el caso de $G = G/N \times N$ muestra (donde $k(G) = k(G/N) \times k(N)$ como se indica en la de Geoff respuesta).
user8269
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No estoy seguro de si esto es lo que está después, pero si $x$ $y$ son conjugado en $G$, $xN$ $yN$ son conjugado en $G/N$. Esto implica que, bajo la canónica mapa de$G$$G/N$, la preimagen de una clase conjugacy en $G/N$ es una unión de clases conjugacy en $G$. Y este a su vez viene en práctico cuando usted está tratando de encontrar la tabla de caracteres de $G$; usted puede ser capaz de encontrar personajes de $G/N$ más fácilmente (ya que, si estamos tratando con grupos finitos, $G/N$ es menor que $G$), y esta relación entre clases conjugacy permite "inducir" un irreductible carácter en $G$ de cada irreductible carácter en $G/N$.
