Si $f=u+iv$ es una función entera tal que $u^2\geq v^2,$ entonces $f$ es constante

Question

Dejemos que $f=u+iv$ sea una función entera tal que $u^2(z) \geq v^2(z), \forall z \in \mathbb{C}.$ ¿Podría alguien aconsejarme cómo probar $f \equiv$ constante $?$ Bastará con que le den pistas. Gracias.

Answer 1

Observe que $f^2 = (u+iv)(u + iv) = (u^2 - v^2) + i(2uv)$ . Desde $f^2$ está completo, $u^2 - v^2$ es armónico. Así, $u^2 - v^2$ es una función armónica no negativa.

Answer 2

dejar $g(z)=f(z)-2i$ tenemos $|g(z)|\geq 1$ para todos $z\in \Bbb C$ Ahora dejemos que $h(z)=\dfrac{1}{g(z)}$ , $h$ es entero y acotado, por lo que es constante.

(la desigualdad): $|g(z)|^2=u^2(z)+v^2(z)-4v(z)+4\geq 2v^2(z)-4v(z)+4=2(v(z)-1)^2+2\geq 1$

Answer 3

$$ u^2-v^2=\mathrm{Re}\,f^2\ge 0, $$ pero la función $g=f^2+1$ también entero, y $$ \lvert g\rvert=\lvert\, f^2+1\rvert\ge\mathrm{Re}\,(\,f^2+1) \ge 1. $$ Por lo tanto, $$ h=\frac{1}{g}, $$ entero y acotado.

Answer 4

Expreso $f$ en coordenadas polares, $f(z)=re^{iϕ}$ Entonces la desigualdad implica que ϕ se restringe al intervalo $[0,π/4]$ .