Hace una secuencia tal que $a_n > 0$ $a_n \to 0$ pero $\sum_{n \geq 0} a_n^t$ diverge $\forall t \in \mathbb{N}$ existen?

Question

¿Existe una secuencia $a_n > 0$ $a_n \to 0$ pero $\sum_{n \geq 0} a_n^t$ diverge $\forall t \in \mathbb{N}?$

Answer 1

Sí. Deje $a_n=1/\ln n$ $n>1.$ cualquier $t>0$ hay sólo un número finito $n\in \mathbb N$ que $(\ln n)^t\geq n. $ $(a_n)^t>1/n$ para todos, pero un número finito de $n\in \mathbb N$.

Answer 2

Sí. Usted necesidad justa de $a_n\searrow0$ $\sum_k a_k^t=+\infty$ todos los $t\in\Bbb N$. Considerar la secuencia de $$1,\underbrace{\frac12,\ldots,\frac12}_{2^{2^2}\text{ times}},\underbrace{\frac13,\ldots,\frac13}_{3^{3^3}\text{ times}},\underbrace{\frac14,\ldots,\frac14}_{4^{4^4}\text{ times}},\cdots,\underbrace{\frac1n,\ldots,\frac1n}_{n^{n^n}\text{ times}},\cdots$$ Claramente $a_n\searrow0$, pero, si llamamos $u(n)=\sum_{k=1}^{n-1}k^{k^k}$, $$\sum_{k=1}^\infty a_k^t=\sum_{k=1}^\infty \sum_{h=1}^{k^{k^k}}a^t_{u(k)+h}=\sum_{k=1}^\infty k^{k^k}k^{-t}=\sum_{k=1}^\infty k^{k^k-t}=+\infty$$