Es allí cualquier agradable caracterización de la extensión de $G/[G,G]$ $[G,G]$ que es igual a $G$?

Question

En esta pregunta, me preguntó si un grupo finito $G$ siempre puede ser expresado como la semidirect producto de su conmutador subgrupo $[G,G]$ y el abelian cociente grupo $G/[G,G]$. La respuesta es no.

Así que ahora pasamos a la pregunta más general, que es determinar si existe alguna agradable caracterización de la extensión de $G/[G,G]$ $[G,G]$ que es igual a $G$. Como estoy interesado en $G$ nonabelian, me doy cuenta de la general, el problema con la extensión es muy duro. Pero tengo la esperanza de que el trabajo con el colector subgrupo hace que este problema sea más fácil. La investigación que he hecho hasta ahora no es alentador, sin embargo, así que sólo puede ser agradablemente sorprendido en este punto!

Motivación: es tentador pensar de la que se derivan una serie de un grupo finito como descomponible en un "producto" de abelian communtator cociente grupos:

$G=G/G'\times G'/G''\times ... \times G^{(n-1)}/G^{(n)} \times G^{(n)}$

donde $G^{(n)}$ es el perfecto grupo donde la derivada de la serie termina. Si $G^{(n)}$ no es trivial, entonces $G$ no es solucionable (y $G^{(n)}$ es necesariamente nonabelian), y $G$ es solucionable si $G^{(n)}$ es trivial. En el último solucionable caso, todos los "factores" son abelian, pero el "producto" puede ser nonabelian. Si pudiéramos caracterizar el "producto" como un semidirect producto, esta interpretación podría tener algún mérito, pero no podemos. Pero si la extensión estoy preguntando acerca de puede ser caracterizado, esta idea podría ser salvagable: que solucionable grupos no son "demasiado nonabelian" porque su "producto" no tiene nonabelian "factores".

Gracias!

Más motivación: DonAntonio se pregunta qué estoy haciendo. Yo creo que no-matemáticos odio/miedo a las matemáticas principalmente porque es aburrido. Pero lo que es aburrido es todo el preliminar cosas que usted necesita para obtener a través de ver el hermoso cosas. Por desgracia, las cosas bonitas puede ser difícil ir sin los preliminares. Así que estoy tratando de desarrollar un accesibles presentación de la Teoría de Galois: no enseñar a fondo, pero para mostrar que no es realmente cool math ocultos de la vista. Hay muchos pasos para llegar a este. Esta pregunta trata de uno de los últimos pasos: ¿por qué el quintic fórmula son "demasiado complejo" para existir? La respuesta es que es "demasiado nonabelian": contiene un nonabelian "factor" que no pueden ser eliminados (el perfecto grupo de los derivados de la serie). Pero hay grupos que se pueden resolver y nonabelian: tienen abelian "factores", pero nonabelian "productos". Todo esto suena bien, pero me gustaría que para ser realmente correcto! Tenía la esperanza de que semidirect productos llenar el proyecto de ley, pero no es así. A lo mejor, la caracterización de la "producto" de colector cociente de los grupos va a ser más complicado de lo que yo esperaba, y en el peor, no habrá tal caracterización. A pesar de que yo estoy tratando de popularizar, y estoy tratando de simplificar, yo no quiero ser mal.

Answer 1

Para la solución de los grupos se tienen dos casos muy diferentes: nilpotent y no nilpotent. Si $G$ es nilpotent (y sólo si, asumiendo $G$ es finito), a continuación, $[G,G]$ está contenida dentro de la Frattini subgrupo. Dichas extensiones se llama "Frattini extensiones" y son diametralmente opuestos a los semi-productos directos (por $K$ un subgrupo normal de $G$, no solo no hay $H$$H \cap K=1$$HK=G$, no hay ni un $H \neq G$$HK =G$).

Dicotomía

No todas las extensiones son semi-directa o Frattini, pero si requerimos $K$ a un mínimo normal (abelian) subgrupo, a continuación, hacemos llegar esta dicotomía. El $K$ que dan a los semi-productos directos son llamados complementado y el $K$ que dan Frattini las extensiones de llamada Frattini.

Cada solucionable grupo está integrado por una serie (de refinación de los derivados de la serie) de la normal de subgrupos $K_i$ tal que $K_i/K_{i+1}$ es un mínimo normal subgrupo de $G/K_{i+1}$. Cada una de las $K_i/K_{i+1}$ es complementada o Frattini. Estos factores $K_i/K_{i+1}$ son llamados factores principales y son un importante método de estudio de solucionable grupos.

El fracaso

Si $G$ no es solucionable, entonces no puede haber factores que no son ni Frattini ni complementa. Si $G$ es infinito, no necesita ser el jefe de los factores en todos los.

Incluso si $G$ es finito solucionable, $[G,G]/1$ no se necesita ser un factor principal, por lo que la extensión de $G/[G,G]$ $[G,G]$ podría no ser complementado ni Frattini (el diedro grupo de la orden de 24 da un obvio ejemplo, al ser una versión de la complementado $S_3$ y el Frattini $D_8$).

Ajustar la cuestión

Hay un par de cosas que podrían ser vale la pena cambiar en la pregunta (no en stackexchange, pero en su búsqueda).

En la teoría de Galois, solucionable grupos no son tanto los grupos con la terminación de los derivados de la serie, sino más bien con un subnormal serie finita cíclico de los cocientes (policíclicos grupos) correspondiente a la toma de $n$th raíces, para $n$ el tamaño del cociente. Por desgracia, en general, una serie que tiene muy poco de la estructura (que es, básicamente, una composición de la serie).

Los productos que usted describe son generalmente llamadas extensiones, y en algunas de las maneras en las extensiones son asociativos, pero en realidad, varios de los tipos especiales de extensiones no son "asociativa." Por ejemplo, considere el $G/H \times H/K \times K/L$, usted podría tener que $G/H \times H/K$, $H/K \times K/L$, y aun $(G/H \times H/K) \times K/L$ son el centro de extensiones, sino $G/H \times (H/K \times K/L)$ no es una extensión central. Esto sucede en $D_8$ $Q_8$ por ejemplo. Tendrás que decidir dónde ir entre paréntesis, o tendrás la frase de la pregunta, así que entre paréntesis no importa. Los paréntesis pueden hacer una gran diferencia. Si no $(((ab)c)d)e$, entonces la factorización prima se llama el jefe de la serie, pero si no $a(b(c(de)))$, a continuación, una factorización prima se llama composición de la serie. Yo soy más aficionado a la del jefe de la serie de enfoque.

Answer 2

No estoy seguro de lo que quieres hacer, pero observe que un lugar "agradable" (¿quién decide?) el grupo cumple con sus condiciones: el grupo simétrico $\;S_n\;$, desde

$$S_n=A_n\rtimes C_2\;,\;\;\text{and}\;\;S_n'=A_n\;,\;\;S_n/S_n'=C_2$$

Lo que siempre se puede decir que, al menos, por Cayley del Teorema, cualquier grupo finito es un subgrupo de un grupo con la forma que usted desea.

Answer 3

Bueno, probablemente no es útil (o interesantes), pero es garantizado si $[G,G]$ $G/[G,G]$ han coprime orden.

Answer 4

Supongamos $N$ es normal abelian $p$-grupo de $G$,$p\mid |G/N|$. A continuación, $G$ se divide $N$ si y sólo si $P$ se divide $N$ donde $P$ es un Sylow $p$-subgrupo de $G$.

Este es un teorema de Gashutz.

Así que vamos a imaginar que estamos en la siguiente situación:

Para algunos Sylow $p$-subgrupo $P$ $G$ tenemos (i) $P$ normal en $G$, (ii) $[P,P]=[G,G]\cap P$, (iii) $[P,P]$ es abelian. (Tenga en cuenta que suponemos que $p$ divide tanto a las órdenes de $[G,G]$$G/[G,G]$, como ya hemos manejado el caso de que los pedidos se coprime.)

Supongamos $G$ se divide $[G,G]$, decir $G=[G,G]\rtimes K$. A continuación,$P=[P,P]\rtimes (K\cap P)$. Así, por Gashutz, podemos eliminar todos los solucionable $G$ que satisfacen las condiciones anteriores para algunos $p$, siempre que el Sylow $p$-subgrupo para que $p$ no divide a través de su conmutador subgrupo.

Este es un trabajo en progreso. Sé que puedo extender este argumento, aunque no estoy seguro de por cuánto.