Simétrico $k$ -tensor

Question

He buscado en Google pero no he encontrado ningún ejemplo de tensor simétrico. He encontrado esta entrada del blog pero no puedo construir ningún ejemplo de tensor simétrico. Sé que un tensor $T$ es simétrico si $T= \operatorname{Sym} T$ . ¿Podría dar el ejemplo más simple, digamos en $\mathbb{R}^n$ ?

Answer 1

Cualquier matriz simétrica $M$ en $\mathbb{R}^n$ define un tensor simétrico de rango dos que mapea ${\mathbb{R}^n}^*\times \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ por $(\vec{x}^T,\vec{y})\mapsto \vec{x}^TM\vec{y}$ . Puede que lo reconozca como un producto interno sobre $\mathbb{R}^n$ . El ejemplo más sencillo viene dado por la identidad $I_n$ que define el producto punto típico en $\mathbb{R}^n$ .