Si una familia de líneas rectas es $\lambda^2 P+\lambda Q+R=0$ ,entonces la familia de líneas tangentes a la curva de $Q^2=4PR.$

Question

He leído este teorema en mi libro, pero no sé cómo demostrarlo.

Si una familia de líneas rectas puede ser representada por una ecuación de $\lambda^2 P+\lambda Q+R=0$ donde $\lambda$ es un parámetro y $P,Q,R$ son funciones lineales de $x$$y$, entonces la familia de líneas tangentes a la curva de $Q^2=4PR.$

Yo:
Deje $P:a_1x+b_1y+c_1=0$
$Q:a_2x+b_2y+c_2=0$
$R:a_3x+b_3y+c_3=0$
Entonces la familia de líneas rectas puede ser representada por una ecuación de $\lambda^2 (a_1x+b_1y+c_1)+\lambda (a_2x+b_2y+c_2)+(a_3x+b_3y+c_3)=0$

$x(\lambda^2a_1+\lambda a_2+a_3)+y(\lambda^2b_1+\lambda b_2+b_3)+(\lambda^2c_1+\lambda c_2+c_3)=0$

Pero no sé cómo probar que la familia de líneas tangentes a la curva de $Q^2=4PR.$

Answer 1

Se busca la envolvente de la familia de las líneas. Como se describe en la entrada de la Wikipedia, no es un enfoque estándar para esta tarea, utilizando el Cálculo.

Escribir $$F(\lambda) \;=\; \lambda^2 P + \lambda Q + R$$ de modo que la diferenciación con respecto a $\lambda$ rendimientos $$F^\prime(\lambda) \;=\; 2\lambda P + Q$$

A continuación, simplemente eliminan $\lambda$ a partir de las ecuaciones $F(\lambda) = 0$$F^\prime(\lambda) = 0$. La solución de la segunda ecuación nos da $\lambda = -\frac{Q}{2P}$; sustituyendo en la primera ecuación da, después de un poco de manipulación algebraica, $$Q^2 = 4 PR$$ como se desee. $\square$

Answer 2

Es un buen método de fuerza bruta, pero funciona.

Prueba

Para averiguar lo que estaba pasando, me trató de un simple caso: $P=x$, $Q=y$, $R=1$. La familia de líneas es $$\lambda^2x +\lambda y + 1 = 0$$ and the quadratic is $$y^2 = 4x$$ decir que la familia de líneas tangentes a la curva significa que dondequiera que se cruzan, sus derivados de acuerdo.

Así que en primer lugar, nos fijamos en las intersecciones. Si $\lambda^2 x + \lambda y + 1 = 0$, luego $y = -\lambda x -\frac{1}{\lambda}$ ($\lambda \neq 0$ porque entonces la línea de la ecuación se convierte en $1=0$). Por lo $y^2 = \lambda^2 x^2 + 2x + \frac{1}{\lambda^2}$. Por otro lado, si $y^2 = 4x$, luego $$\begin{align*} \lambda^2 x^2 + 2x + \frac{1}{\lambda^2} &= 4x \\ \implies \lambda^2 x^2 - 2x + \frac{1}{\lambda^2} &= 0 \\ \implies \left(\lambda x - \frac{1}{\lambda}\right)^2 &= 0\\ \implies x &= \frac{1}{\lambda^2} \end{align*}$$ Si sigue ese $y = -\lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda} = -\frac{2}{\lambda}$. Esto concuerda con la segunda ecuación de $y^2 = 4x$.

El derivado $\frac{dy}{dx}$ a lo largo de la línea de $\lambda^2 x + \lambda y + 1 = 0$ es claramente la pendiente $-\lambda$. La derivada a lo largo de la curva de $y^2=4x$ es $$2y \frac{dy}{dx} = 4\implica \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$$ Si $y=-\frac{2}{\lambda}$$\frac{2}{y} = -\lambda$, como se desee.

El caso general

Ahora voy a tener cuidado de no dividir por cero. Deje $F = \lambda^2 P + \lambda Q + R$$G = Q^2-4PR$. Queremos mostrar $$\begin{vmatrix} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix} =0$$ en las intersecciones $F=G=0$.

En primer lugar, hemos de reducir las ecuaciones para las intersecciones. Si $\lambda^2 P + \lambda Q + R = 0$,$\lambda Q = - \lambda^2 P - R$, por lo que $$\lambda^2 Q^2 = \lambda^4 P^2 + 2\lambda^2 PR + R^2$$ Por otro lado, si $Q^2 =4PR$,$\lambda^2 Q^2 = 4\lambda PR$, y tenemos $$\begin{align*} \lambda^4 P^2 + 2\lambda^2 PR + R^2 &= 4\lambda PR \\ \implies \lambda^4 P^2 - 2\lambda^2 PR + R^2 &= 0 \\ \implies \left(\lambda^2 P-R\right)^2 &=0 \\ \implies \lambda^2 P-R &=0 \tag{1}\\ \end{align*}$$ Sustituyendo $R=\lambda ^2P$ en la primera ecuación da $$2\lambda^2 P + \lambda Q = 0 \implica \lambda(2\lambda P + Q) = 0 \implica 2\lambda P + Q=0 \etiqueta{2}$$

Ahora calculamos el determinante de los derivados: $$\begin{vmatrix} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda^2 P_x + \lambda Q_x + R_x & \lambda^2 P_y + \lambda Q_y + R_y \\ 2QQ_x - 4P_xR - 4PR_x & 2QQ_y - 4P_yR - 4PR_y \\ \end{vmatrix}$$ Agregar $4P$ los tiempos de la primera línea a la segunda línea. El factor determinante es $$\begin{vmatrix} \lambda^2 P_x + \lambda Q_x + R_x & \lambda^2 P_y + \lambda Q_y + R_y \\ 2(2\lambda P+Q)Q_x +4(\lambda^2P- R)P_x & 2(2\lambda P+Q)Q_y +4(\lambda^2P- R)P_y \end{vmatrix}$$ A la luz de (1) y (2), la segunda línea es cero.

Answer 3

Para encontrar sobres por C-discriminante método, eliminamos $\lambda$ entre

$$f(\lambda) \;=\; \lambda^2 P + \lambda Q + R =0, \; f^\prime(\lambda) \;=\; 2\lambda P + Q =0 \;$$

( la última es la característica para el parámetro $\lambda$ )

rendimiento:

$$Q^2 = 4 P R$$

El método puede ser puede ser extendido a 2,3 .. número arbitrario de parámetros.

El método y el resultado son los mismos que el dado por el Azul.