Problema 560 de Demidovich del libro de problemas.

Question

Necesita una solución para un problema 560 de Demidovich del libro de problemas.

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}$$

Yo sé la respuesta:

$$a^{^}\ln(a);$$

Me había cansado de algunos reemplazos y algunos de descomposición, pero no ha funcionado.

P. S. El nivel de problema que significa una solución sin necesidad de l'Hospital.

Answer 1

El uso de l'Hospitals regla de obtener $$\lim_{x\a}\frac{a^{a^x}^x(\ln a)^2-a^{x^a}ax^{- 1}\ln a}{a^x\ln a - ax^{- 1}}=a^{^}\ln a.$$ EDIT: Si estás buscando un método que no involucran la toma de derivados, sugiero lo siguiente: $$\lim_{x\to a}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}=\lim_{x\to a}a^{a^x}\frac{1-a^{x^a-a^x}}{a^x-x^a}=a^{a^a}\underbrace{\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}}_{=\ln a}.$$ De esta manera usted sólo necesita $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a$, $\displaystyle\lim_{x\to a}a^x-x^a=0$ y para establecer $h:=a^x-x^a$.

Answer 2

Deje $f(t) = a^t=e^{(\ln a) t}$. Ahora $f'(t) = (\ln a) (a^t)$.

Por el valor medio teorema,

$$\frac{f(t)-f(s) }{ t-s} = f'(c)$$

para algunos intermedios $c$.

En nuestro caso $t$ $s$ son funciones de la $x$, la satisfacción de $\lim_{x\to a} t(x) =\lim_{x\to a} s(x) = a^a$. Por lo tanto, el punto intermedio $c=c(x)$ tiende a $a^a$. Puesto que la derivada de $f$ es continuo, la respuesta es $f'(a^a)= (\ln a) a^{a^a}$.