Convergencia de la serie $\sum _{k=1}^{ \infty }( \sin a^{k}- \sin a^{x+k})$ ?

Question

¿La siguiente serie es convergente? $$\sum _{k=1}^{ \infty }( \sin a^{k}- \sin a^{x+k}); \quad 0<x<1 , \quad 0<a<1.$$

Answer 1

La serie converge absolutamente. Para ver esto usa el MVT para escribir $$\sin a^k- \sin a^{x+k}= \cos ( \xi_k (x)) (a^k-a^{x+k})=(1-a^x) \cos ( \xi_k (x))a^k$$ donde $\xi_k (x)$ es un número entre $a^k$ y $a^{x+k}$ . La serie de valores absolutos es entonces $$|1-a^x| \sum_ {k=1}^ \infty | \cos \xi_k (x) | |a|^k \leq |1-a^x| \sum_ {k=1}^ \infty a^k= \frac {1-a^x}{1-a}< \infty.$$