Vamos a llamar a un número entero positivo teniendo en representación decimal no común dígitos con toda su adecuada divisores de "un buen número".
- $54$ es un buen número : $1,2,3,6,18,27$
- $48$ no es un buen número : $1,2,3,\color{red}{4},6,\color{blue}{8},12,16,2\color{red}{4}$
Los buenos números : $2,3,4,5,6,7,8,9,23,27,29,34,37,38,43,46,47,49,53,54,\cdots$
He estado interesado en estos números, y me di cuenta de que OEIS tiene esta secuencia. Uno puede ver fácilmente la siguiente :
- $1$ no está incluido en los dígitos de números buenos.
- Dígito de la extrema derecha de un buen número de $n\ge 6$ ni $0,1,2$ ni $5$.
Deje $d(n)$ el número de divisores de a $n$. Me di cuenta de que $d(n)$ es relativamente pequeño (más pequeño) de un buen número $n$. La siguiente muestra $d(n)$ para un buen número $n$ a excepción de los números primos.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n&4&6&8&9&27&34&38&46&49&54&56&57&58&68&69\\ \hline d(n)&3&4&4&3&4&4&4&4&3&8&8&4&4&6&4 \\\hline \end{array}$$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n&76&78&86&87&247&249&259&267&289&323&329&334\\ \hline d(n)&6&8&4&4&4&4&4&4&3&4&4&4 \\\hline \end{array}$$
Parece que existe la máxima de $d(n)$ para un buen número $n$. También, parece que el número de conjuntos de cuatro consecutivos buenos números, tales como $\{56,57,58,59\}$, es finito. Sin embargo, a pesar de que he estado tratando de demostrar/refutar las dos conjeturas, yo no puede ni probar ni refutar. Así que, aquí están mis preguntas.
Pregunta 1 : ¿existe el máximo de $d(n)$ para un buen número $n$? Si sí, ¿qué es? Si no, ¿cómo podemos mostrar que?
Pregunta 2 : Es el número de conjuntos de cuatro consecutivos buen número finito? Si sí, ¿cuál es el mayor? Si no, ¿cómo podemos mostrar que?
Agregado : Para la Pregunta 1, un usuario san mostraron que la respuesta es que sí y que un límite superior para $d(n)$ es de 16. Sin embargo, el máximo de $d(n)$ no se ha obtenido todavía.
Para la Pregunta 2, san mostraron que la respuesta es sí, y que el mayor conjunto de es $\{56,57,58,59\}$.
