Aquí hay una respuesta que se me ocurrió. Yo soy básicamente el uso explícito de la deformación de retracción del cono con su vértice en el punto. Para hacer esto la primera vez que voy deformación retraer $Y\times I$$Y\times\{1\}$, y luego considerar la imagen de este en virtud de la natural proyección. Creo que esto es precisamente lo que se sugiere hacer sin hacer uso de la deformación de retracción de forma explícita.
Por el camino, para referencia en el futuro, este es el ejercicio 5.6 en la página 91 de Armstrong Topología Básica.
Exención de responsabilidad 1: sé que la deformación de retracción se introdujo más tarde en el libro, y he tratado de evitar el uso de ellos al principio, pero tal vez Armstrong quiere que el lector averiguar sobre ellos. Me vino con otras dos ideas que no utilice la deformación de retracción, pero yo no podía hacer demasiado uso de ellos. Si cualquiera de ellos resultan ser útil, voy a añadir más tarde.
Disclaimer 2: no soy muy versado en la categoría de teoría, así que perdón por mi diagrama de si contiene información redundante.
En primer lugar, permítanme introducir una notación. Deje $\alpha:=Y\times\{1\}\in CY$ ser el ápice punto del cono $CY$, e $c_\alpha: X\to CY, x\mapsto\alpha$ ser la constante mapa en $\alpha$. Deje $\pi: Y\times I\to CY$ ser la natural proyección, es decir, $\pi(y,s):=\begin{cases} \alpha&,\mbox{if } s=1\\ \{(y,s)\}&,\mbox{if } s<1\end{cases}$.
Considere el siguiente diagrama:
$$\begin{array} &Y& \cong &Y\times\{0\}& \hookrightarrow &Y\times I& \cong &(Y\times I)\times \{0\}& \hookrightarrow &(Y\times I)\times I& \stackrel{F_0}{\longrightarrow} &Y\times I& \\
&&& &\downarrow{\pi} && \downarrow{(\pi,id)} && \downarrow{(\pi,id)} &\curvearrowright& \downarrow{\pi}\\
& && &CY& \cong &CY\times\{0\}& \hookrightarrow &CY\times I& \stackrel{F}{\longrightarrow} &CY,&
\end{array}$$
donde
$$F_0:(Y\times I)\times I\to Y\times I,((y,s),t)\mapsto (y,(1-t)s+t)$$
y
$$F:CY\times I\to CY, (\pi(y,s),t)\mapsto \pi(F_0((y,s),t))=\pi(y,(1-t)s+t).$$
Observar que $F$ se define de modo que $F\circ(\pi,id)=\pi\circ F_0$. Por lo tanto la continuidad de $F_0$ garantizar la continuidad de $F$.
$F_0$ es una deformación de retracción de $Y\times I$ a $Y\times \{1\}$. De hecho, $F_0$ es claramente continua y
\begin{align}
&F_0((y,s),0)=(y,s)=id_{Y\times I}(y,s)\\
&F_0((y,s),1)=(y,1)\in Y\times\{1\}\\
&F_0((y,1),t)=(y,1)=id_{Y\times I}(y,1)\\
\end{align}
La próxima nos deja ver que $F$ está bien definido. Si $y,y'\in Y$, tenemos
$$F(\pi(y,1),t)=\pi(y,1)=\alpha=\pi(y',1)=F(\pi(y',1),t).$$
A continuación, $F$ deformación se retrae $CY=\pi(Y\times I)$ a $\{\alpha\}=\pi(Y\times\{1\})$ por la construcción.
Deje $f:X\to CY$ ser una función continua. Conjunto
$$f(x):=\begin{cases}\alpha=\pi(y',1)&,\mbox{if } x\in f^{-1}(\alpha)\\
\{y_x,s_x\}=\pi(y_x,s_x)&, \mbox{if } x\not\in f^{-1}(\alpha)\end{casos}.$$
Aquí $y'\in Y$ es arbitrario, sino $y_x$ $s_x$ (posiblemente) dependen $x\in X-f^{-1}(\alpha)$. Dado que tanto $F$ $f$ son continuos, por lo que es
$$G:X\times I\to CY, (x,t)\mapsto F(f(x),t)=F\circ(f,id)(x,t).$$
Por otra parte tenemos
\begin{align}
&G(x,0)=F(f(x),0)=\begin{cases} \alpha&,\mbox{if } x\in f^{-1}(\alpha)\\ \pi(y_x,s_x)&,\mbox{if } x\not\in f^{-1}(\alpha)\end{casos}=f(x)\\
Y G(x,1)=F(f(x),1)=\alpha=c_\alpha(x)\\
&\forall x\in f^{-1}(\alpha): G(x,t)=F(\alpha,t)=\alpha=f(x)=c_\alpha(x)
\end{align}
Por lo tanto $f\underset{G}{\simeq} c_\alpha$ rel $f^{-1}(\alpha)$. Desde homotopy relativa a un subconjunto del dominio es una relación de equivalencia, cualquiera de los dos continua de la función $X\to CY$ son homotópica a cada uno de los otros.
