La división de Corta secuencia Exacta

Question

Supongamos $d_1d_2=n$ y deje $0 \to d_1\mathbb Z_n \overset {i} \to \mathbb Z_n \stackrel {d_2\cdot} \to d_2\mathbb Z_n\to 0$ ser una breve secuencia exacta. Muestran que la secuencia se divide iff $\gcd(d_1,d_2)=1$.

Supongamos que s.e.s. split, a continuación,$\mathbb Z_n=d_1\mathbb Z_n +d_2\mathbb Z_n$, por lo tanto $1=d_1a+d_2b$ por lo tanto $\gcd=1$. Cómo probar lo contrario?

Answer 1

Si $(d_1,d_2)=1$, muestran que todos los $a \in \mathbb Z_n$ puede ser escrito como $a=xd_1+yd_2$ donde $x,y\in \mathbb Z_n$ son únicos modulo $d_2$ $d_1$ respectivamente.

A continuación, defina $f:\mathbb Z_n \to d_1\mathbb Z_n$$f(xd_1+yd_2)=xd_1$. Esto está bien definido desde $x$ es único modulo $d_2$$d_1d_2=n=0$. Mostrar que es un grupo homomorphism y que $fi=\text{Id}_{d_1\mathbb Z_n}$.

Answer 2

O, alternativamente, Nitrógeno: usted está buscando para una sección de la multiplicación por $d_2$ mapa. Por lo tanto usted está buscando un elemento $x$ tal que $$d_1x \equiv 0\pmod n$$ (because $d_2$ has order $d_1$) and such that $$d_2x \equiv d_2 \pmod n.$$ Dividing through, this is equivalent to solving $x \equiv 0 \pmod {d_2}$ and $x \equiv 1 \pmod {d_1}$, which is possible if $d_1$ and $d_2$ are coprime. In any event, $x = b d_2$, where $b$ is as above (i.e., so your section is $k\,d_2 \mapsto k\,x$, for $k \in \mathbb Z$).