¿Cuál es el significado geométrico de la derivada de $e^x$

Question

Es decir, hay un geométricas razón por la que la derivada de $e^x$ $e^x$ sí?

Answer 1

La razón de esto depende de su definición de $e$. Cuando usted se define como la constante de $c$ tal que $f'(x)=f(x)$ donde $f(x) = c^x$, no hay nada realmente especial. Para obtener más información, lea la página de la Wikipedia en $e$.

Answer 2

La tasa de cambio de la función es la misma que la función de valor.

Geométricamente, si en algunos de los $x=a$ el valor de la función es $10$, entonces la pendiente de la recta tangente a la función en $(a,10)$$10$. Si en algunos de los $x=b$ el valor es $500$, entonces la pendiente de la recta tangente a la función en $(b,500)$$500$.

Más genéricamente, $f'(x) = f(x).$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\begin{array}{lll} \frac{d}{dx}a^x&=&\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ &=&\lim_{h\to 0}\frac{a^x(a^{h}-1)}{h}\\ &=&a^x\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}\\ &=&a^xf(a) \end{array}$$ Donde $$f(a)=\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1}{h}$$ Para algunos valores positivos de $a$, $f(a)<1$, y para otros, $f(a)>1$. Intente dibujar algunos gráficos para convencerse de que f(a) es continua y que es creciente y cóncava hacia arriba.

Suponiendo que lo anterior es cierto, entonces existe algún valor de a $a$ donde $f(a)=1$. Nosotros decimos que si $f(a)=1$ $a=e$ para un valor de $e$.