Comprobando la divisibilidad de$\sum\limits_{r=1}^{p-1} {r^{p^n}}$ por p.

Question

Permita que$p>2$ sea un número impar y permita que$n$ sea un entero positivo. Demuestre que$p$ divide$${\sum\limits_{r=1}^{p-1}{r^{p^n}}}$ $

Mi prueba: de la expansión multinomial, sabemos que$${(1 + 2 + 3 + ... + p-1)}^{p^n}= 1^{p^n}+ 2^{p^n}+....+ (p-1)^{p^n} + \sum\limits_{k_1+k_2+...+k_{p-1}={p^n}}{{p^n}\choose{k_1,k_2,..,k_{p-1}}}\prod\limits_{1\leq r\leq p-1}r^{p^{k_{t}}} $$, where $ k_1, k_2, .., k_ {p-1} \ neq {p ^ n} $. Entonces, también podemos escribir,$${\sum\limits_{r=1}^{p-1}{r^{p^n}}}=\left(\small{\frac{p(p-1)}{2}}\right)^{p^n} - \sum\limits_{k_1+k_2+...+k_{p-1}={p^n}}{{p^n}\choose{k_1,k_2,..,k_{p-1}}}\prod\limits_{1\leq r\leq p-1}r^{p^{k_{t}}} $ $ Now,$$\left(\frac{p(p-1)}{2}\right)^{p^n} $$ is divisible by $ p$ and $$\sum\limits_{k_1+k_2+...+k_{p-1}={p^n}}{{p^n}\choose{k_1,k_2,..,k_{p-1}}}\prod\limits_{1\leq r\leq p-1}r^{p^{k_{t}}}$$ is also divisible by $ p$ since multinomial coefficients consist of $ p! $ . Por lo tanto,$${\sum\limits_{r=1}^{p-1}{r^{p^n}}}$$ is divisible by $ p $.

Por favor dime si mi prueba es correcta. En caso afirmativo, ¿debo proporcionar más detalles a mi prueba? Si mi prueba es incorrecta, ayúdeme a probarla, por favor. ¡Gracias! :)

Answer 1

Encuentro su prueba correcta, pero quizás quiera saber que se puede hacer de una manera más rápida y limpia.

Por cada$1\le r\le p-1$ tenemos$$r^p\equiv r\pmod p$ $ y, de hecho, si$k-1$ es un múltiplo de$p-1$,$$r^k\equiv r\pmod p$ $

Como$p^n-1$ es un múltiplo de$p-1$,$$\sum_{j=1}^{p-1}r^{p^n}\equiv\sum_{j=1}^{p-1}r\equiv 0\pmod p$ $